微分積分学準備例

$x + y + z = 8$ , $x - y + z = - 2$ , $2 x + 0 + 2 = 9$

Step 1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x + 2 = 9$

Step 2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x = 9 - 2$

Step 3

$9$ から $2$ を引きます。

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x = 7$

Step 4

連立方程式を行列形式で表します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ - 2 \\ 7 \end{array}]$

Step 5

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}]$ の行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

小さな成分に分割して行列式を立てます。

$D = - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$D = - 1 (1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ に $1$ をかけます。

$D = - 1 (0 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

$- 2$ に $1$ をかけます。

$D = - 1 (0 - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

$0$ から $2$ を引きます。

$D = - 1 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$D = 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$D = 2 - 1 (1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ に $1$ をかけます。

$D = 2 - 1 (0 - 2 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

$- 2$ に $1$ をかけます。

$D = 2 - 1 (0 - 2) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

$0$ から $2$ を引きます。

$D = 2 - 1 \cdot - 2 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$D = 2 + 2 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$D = 2 + 2 + 0 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$1$ に $1$ をかけます。

$D = 2 + 2 + 0 (1 - 1 \cdot 1)$

$- 1$ に $1$ をかけます。

$D = 2 + 2 + 0 (1 - 1)$

$1$ から $1$ を引きます。

$D = 2 + 2 + 0 \cdot 0$

$0$ に $0$ をかけます。

$D = 2 + 2 + 0$

$2$ と $2$ をたし算します。

$D = 4 + 0$

$4$ と $0$ をたし算します。

$D = 4$

Step 6

$[\begin{array}{c} 8 & 1 & 1 \\ - 2 & - 1 & 1 \\ 7 & 0 & 0 \end{array}]$ の行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

小さな成分に分割して行列式を立てます。

$D_{x} = - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$D_{x} = - 1 (- 2 \cdot 0 - 7 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 2$ に $0$ をかけます。

$D_{x} = - 1 (0 - 7 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

$- 7$ に $1$ をかけます。

$D_{x} = - 1 (0 - 7) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

$0$ から $7$ を引きます。

$D_{x} = - 1 \cdot - 7 - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$D_{x} = 7 - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$D_{x} = 7 - 1 (8 \cdot 0 - 7 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$8$ に $0$ をかけます。

$D_{x} = 7 - 1 (0 - 7 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

$- 7$ に $1$ をかけます。

$D_{x} = 7 - 1 (0 - 7) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

$0$ から $7$ を引きます。

$D_{x} = 7 - 1 \cdot - 7 + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$D_{x} = 7 + 7 + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1))$

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$8$ に $1$ をかけます。

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 - (- 2 \cdot 1))$

$- (- 2 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 2$ に $1$ をかけます。

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 + 2)$

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 + 2)$

$8$ と $2$ をたし算します。

$D_{x} = 7 + 7 + 0 \cdot 10$

$0$ に $10$ をかけます。

$D_{x} = 7 + 7 + 0$

$7$ と $7$ をたし算します。

$D_{x} = 14 + 0$

$14$ と $0$ をたし算します。

$D_{x} = 14$

Step 7

$[\begin{array}{c} 1 & 8 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 2 & 7 & 0 \end{array}]$ の行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

小さな成分に分割して行列式を立てます。

$D_{y} = 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} |$ に $1$ をかけます。

$D_{y} = | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$D_{y} = 1 \cdot 7 - 2 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$7$ に $1$ をかけます。

$D_{y} = 7 - 2 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$D_{y} = 7 + 4 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

$7$ と $4$ をたし算します。

$D_{y} = 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$D_{y} = 11 - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$7$ に $1$ をかけます。

$D_{y} = 11 - 1 (7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

$- 2$ に $8$ をかけます。

$D_{y} = 11 - 1 (7 - 16) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

$7$ から $16$ を引きます。

$D_{y} = 11 - 1 \cdot - 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$D_{y} = 11 + 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 8)$

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 2$ に $1$ をかけます。

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (- 2 - 1 \cdot 8)$

$- 1$ に $8$ をかけます。

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (- 2 - 8)$

$- 2$ から $8$ を引きます。

$D_{y} = 11 + 9 + 0 \cdot - 10$

$0$ に $- 10$ をかけます。

$D_{y} = 11 + 9 + 0$

$11$ と $9$ をたし算します。

$D_{y} = 20 + 0$

$20$ と $0$ をたし算します。

$D_{y} = 20$

Step 8

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 8 \\ 1 & - 1 & - 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{array}]$ の行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

小さな成分に分割して行列式を立てます。

$D_{z} = - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$D_{z} = - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$7$ に $1$ をかけます。

$D_{z} = - 1 (7 - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$D_{z} = - 1 (7 + 4) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

$7$ と $4$ をたし算します。

$D_{z} = - 1 \cdot 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

$- 1$ に $11$ をかけます。

$D_{z} = - 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$D_{z} = - 11 - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$7$ に $1$ をかけます。

$D_{z} = - 11 - 1 (7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

$- 2$ に $8$ をかけます。

$D_{z} = - 11 - 1 (7 - 16) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

$7$ から $16$ を引きます。

$D_{z} = - 11 - 1 \cdot - 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 8)$

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 2$ に $1$ をかけます。

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (- 2 - 1 \cdot 8)$

$- 1$ に $8$ をかけます。

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (- 2 - 8)$

$- 2$ から $8$ を引きます。

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 \cdot - 10$

$0$ に $- 10$ をかけます。

$D_{z} = - 11 + 9 + 0$

$- 11$ と $9$ をたし算します。

$D_{z} = - 2 + 0$

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$D_{z} = - 2$

Step 9

$x = \frac{D_{x}}{D}$ とするクラメルの公式で $x$ の値を求めます。この場合、 $x = \frac{14}{4}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

括弧を削除します。

$x = \frac{14}{4}$

$14$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $14$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (7)}{4}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

式を書き換えます。

$x = \frac{7}{2}$

Step 10

$y = \frac{D_{y}}{D}$ とするクラメルの公式で $y$ の値を求めます。この場合、 $y = \frac{20}{4}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

括弧を削除します。

$y = \frac{20}{4}$

$20$ を $4$ で割ります。

$y = 5$

Step 11

$z = \frac{D_{z}}{D}$ とするクラメルの公式で $z$ の値を求めます。この場合、 $z = \frac{- 2}{4}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

括弧を削除します。

$z = \frac{- 2}{4}$

$\frac{- 2}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$z = \frac{2 (- 1)}{4}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $4$ で因数分解します。

$z = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

共通因数を約分します。

$z = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

式を書き換えます。

$z = \frac{- 1}{2}$

分数の前に負数を移動させます。

$z = - \frac{1}{2}$

Step 12

クラメルの公式を利用した連立方程式の解です。

$x = \frac{7}{2}, y = 5, z = - \frac{1}{2}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例