微分積分学準備例

$(- \sqrt{255}, 3 + \sqrt{2})$

ステップ 1

変換式を使って直交座標 $(x, y)$ を極座標 $(r, θ)$ に交換します。

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 2

$x$ と $y$ を実数で置き換えます。

$r = \sqrt{{(- \sqrt{255})}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3

極座標表の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

累乗根で指数を約分し簡約します。

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ステップ 3.1.1

積の法則を $- \sqrt{255}$ に当てはめます。

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{255}}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.1.2

式を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{1 {\sqrt{255}}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.1.2.2

${\sqrt{255}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$r = \sqrt{{\sqrt{255}}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{\sqrt{255}}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.1.3

${\sqrt{255}}^{2}$ を $255$ に書き換えます。

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ステップ 3.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{255}$ を $255^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{{(255^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$r = \sqrt{255^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$r = \sqrt{255^{\frac{2}{2}} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$r = \sqrt{255^{\frac{2}{2}} + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.1.3.4.2

式を書き換えます。

$r = \sqrt{255 + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.1.3.5

指数を求めます。

$r = \sqrt{255 + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + {(3 + \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.1.4

${(3 + \sqrt{2})}^{2}$ を $(3 + \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2})$ に書き換えます。

$r = \sqrt{255 + (3 + \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + (3 + \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(3 + \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2})$ を展開します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$r = \sqrt{255 + 3 (3 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (3 + \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$r = \sqrt{255 + 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2} (3 + \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$r = \sqrt{255 + 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 3 + \sqrt{2} \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 3 + \sqrt{2} \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$3$ に $3$ をかけます。

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 3 + \sqrt{2} \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.3.1.2

$3$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.3.1.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.3.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.3.1.5

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.3.1.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.3.2

$9$ と $2$ をたし算します。

$r = \sqrt{255 + 11 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.3.3

$3 \sqrt{2}$ と $3 \sqrt{2}$ をたし算します。

$r = \sqrt{255 + 11 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{255 + 11 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.4

$255$ と $11$ をたし算します。

$r = \sqrt{266 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{266 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 4

$x$ と $y$ を実数で置き換えます。

$r = \sqrt{266 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{3 + \sqrt{2}}{- \sqrt{255}})$

ステップ 5

$- \frac{3 \sqrt{255} + \sqrt{510}}{255}$ の逆正切は $θ = 164.54766936 °$ です。

$r = \sqrt{266 + 6 \sqrt{2}}$

$θ = 164.54766936 °$

ステップ 6

$(r, θ)$ 形式で極座標に変換した結果です。

$(\sqrt{266 + 6 \sqrt{2}}, 164.54766936 °)$

微分積分学準備 例

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