微分積分学準備例

$x^{2} - y^{2} - 4 y = 21$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

$- y^{2} - 4 y$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0$

ステップ 1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

$\frac{- 2}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot - 2$

ステップ 1.1.3.2.2

$- 1 \cdot - 2$ を $- - 2$ に書き換えます。

$d = - - 2$

ステップ 1.1.3.2.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$d = 2$

ステップ 1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1

${(- 4)}^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.4.2.1.1.2

積の法則を $- 1 (4)$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.4.2.1.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.4.2.1.1.4

$4^{2}$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.4.2.1.1.5

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.4.2.1.1.6

$\frac{4}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$- (- 1 \cdot 4)$ を掛けます。

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ステップ 1.1.4.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - - 4$

ステップ 1.1.4.2.1.2.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$e = 0 + 4$

ステップ 1.1.4.2.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$e = 4$

ステップ 1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(y + 2)}^{2} + 4$ に代入します。

$- {(y + 2)}^{2} + 4$

ステップ 1.2

$- {(y + 2)}^{2} + 4$ を方程式 $x^{2} - y^{2} - 4 y = 21$ の中の $- y^{2} - 4 y$ に代入します。

$x^{2} - {(y + 2)}^{2} + 4 = 21$

ステップ 1.3

両辺に $4$ を加えて、 $4$ を方程式の右辺に移動させます。

$x^{2} - {(y + 2)}^{2} = 21 - 4$

ステップ 1.4

$21$ から $4$ を引きます。

$x^{2} - {(y + 2)}^{2} = 17$

ステップ 1.5

各項を $17$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{x^{2}}{17} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{17} = \frac{17}{17}$

ステップ 1.6

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{17} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{17} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = \sqrt{17}$

$b = \sqrt{17}$

$k = - 2$

$h = 0$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, - 2)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\sqrt{17})}^{2} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

${\sqrt{17}}^{2}$ を $17$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{17}$ を $17^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{17^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{17^{1} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5

指数を求めます。

$\sqrt{17 + {(\sqrt{17})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{17}}^{2}$ を $17$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{17}$ を $17^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{17 + {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{17 + 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{17 + 17^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{17 + 17^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{17 + 17^{1}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{17 + 17}$

ステップ 5.3.3

$17$ と $17$ をたし算します。

$\sqrt{34}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\sqrt{17}, - 2)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \sqrt{17}, - 2)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(\sqrt{17}, - 2), (- \sqrt{17}, - 2)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\sqrt{34}, - 2)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \sqrt{34}, - 2)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(\sqrt{34}, - 2), (- \sqrt{34}, - 2)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{17})}^{2} + {(\sqrt{17})}^{2}}}{\sqrt{17}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

${\sqrt{17}}^{2}$ を $17$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{17}$ を $17^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

ステップ 8.3.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{17^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

ステップ 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

ステップ 8.3.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

ステップ 8.3.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{17^{1} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

ステップ 8.3.1.1.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{17 + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

ステップ 8.3.1.2

${\sqrt{17}}^{2}$ を $17$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{17}$ を $17^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{17 + {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{17}}$

ステップ 8.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{17 + 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{17}}$

ステップ 8.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{17 + 17^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{17}}$

ステップ 8.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{17 + 17^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{17}}$

ステップ 8.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{17 + 17^{1}}}{\sqrt{17}}$

ステップ 8.3.1.2.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{17 + 17}}{\sqrt{17}}$

ステップ 8.3.1.3

$17$ と $17$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{17}}$

ステップ 8.3.2

$\sqrt{34}$ と $\sqrt{17}$ を単一根にまとめます。

$\sqrt{\frac{34}{17}}$

ステップ 8.3.3

$34$ を $17$ で割ります。

$\sqrt{2}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{{\sqrt{17}}^{2}}{\sqrt{34}}$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

${\sqrt{17}}^{2}$ を $17$ に書き換えます。

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ステップ 9.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{17}$ を $17^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{34}}$

ステップ 9.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{34}}$

ステップ 9.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{17^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{34}}$

ステップ 9.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{17^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{34}}$

ステップ 9.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{17^{1}}{\sqrt{34}}$

ステップ 9.3.1.5

指数を求めます。

$\frac{17}{\sqrt{34}}$

ステップ 9.3.2

$\frac{17}{\sqrt{34}}$ に $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ をかけます。

$\frac{17}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

ステップ 9.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.3.3.1

$\frac{17}{\sqrt{34}}$ に $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ をかけます。

$\frac{17 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

ステップ 9.3.3.2

$\sqrt{34}$ を $1$ 乗します。

$\frac{17 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34}}$

ステップ 9.3.3.3

$\sqrt{34}$ を $1$ 乗します。

$\frac{17 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1}}$

ステップ 9.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{17 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{17 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6

${\sqrt{34}}^{2}$ を $34$ に書き換えます。

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ステップ 9.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{34}$ を $34^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{17 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{17 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{17 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{17 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{17 \sqrt{34}}{34^{1}}$

ステップ 9.3.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{17 \sqrt{34}}{34}$

ステップ 9.3.4

$17$ と $34$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.4.1

$17$ を $17 \sqrt{34}$ で因数分解します。

$\frac{17 (\sqrt{34})}{34}$

ステップ 9.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.4.2.1

$17$ を $34$ で因数分解します。

$\frac{17 \sqrt{34}}{17 \cdot 2}$

ステップ 9.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{17 \sqrt{34}}{17 \cdot 2}$

ステップ 9.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{34}}{2}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm 1 \cdot x - 2$

ステップ 11

$x$ に $1$ をかけます。

$y = x - 2$

ステップ 12

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y = - x - 2$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = x - 2, y = - x - 2$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, - 2)$

頂点： $(\sqrt{17}, - 2), (- \sqrt{17}, - 2)$

焦点： $(\sqrt{34}, - 2), (- \sqrt{34}, - 2)$

偏心： $\sqrt{2}$

焦点のパラメータ： $\frac{\sqrt{34}}{2}$

漸近線： $y = x - 2$ 、 $y = - x - 2$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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