微分積分学準備例

$x^{2} + 2 x + 2 y + 7 = 0$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $y$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$2 x + 2 y + 7 = - x^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$2 y + 7 = - x^{2} - 2 x$

ステップ 1.1.1.3

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$2 y = - x^{2} - 2 x - 7$

ステップ 1.1.2

$2 y = - x^{2} - 2 x - 7$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$2 y = - x^{2} - 2 x - 7$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{- x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{- x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.1.2.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{- 7}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{- 7}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{- 7}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- x}{1} + \frac{- 7}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.4

$- x$ を $1$ で割ります。

$y = - \frac{x^{2}}{2} - x + \frac{- 7}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}$

ステップ 1.2

$- \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = - \frac{7}{2}$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 1}{2 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$d = \frac{1}{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.3.2.2

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$d = \frac{1}{\frac{2}{2}}$

ステップ 1.2.3.2.3

$2$ を $2$ で割ります。

$d = \frac{1}{1}$

ステップ 1.2.3.2.4

$1$ を $1$ で割ります。

$d = 1$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - \frac{7}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = - \frac{7}{2} - \frac{1}{4 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = - \frac{7}{2} - \frac{1}{- 4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e = - \frac{7}{2} - \frac{1}{\frac{- 4}{2}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$- 4$ を $2$ で割ります。

$e = - \frac{7}{2} - \frac{1}{- 2}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{7}{2} - - \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.4.2.1.5

$- - \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.4.2.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = - \frac{7}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

ステップ 1.2.4.2.1.5.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$e = - \frac{7}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 7 + 1}{2}$

ステップ 1.2.4.2.3

$- 7$ と $1$ をたし算します。

$e = \frac{- 6}{2}$

ステップ 1.2.4.2.4

$- 6$ を $2$ で割ります。

$e = - 3$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 3$ に代入します。

$- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 3$

ステップ 1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} - 3$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{2}$

$h = - 1$

$k = - 3$

ステップ 3

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 1, - 3)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

ステップ 5.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 5.3.2

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

ステップ 5.3.3

$4$ を $2$ で割ります。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 1, - \frac{7}{2})$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - 1$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{5}{2}$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(- 1, - 3)$

焦点： $(- 1, - \frac{7}{2})$

対称軸： $x = - 1$

準線： $y = - \frac{5}{2}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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