微分積分学準備例

$9 \log_{2} (\sqrt[3]{x^{2} - 4}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$9 \log_{2} (\sqrt[3]{x^{2} - 2^{2}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$9 \log_{2} (\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.3

対数の中の $9$ を移動させて $9 \log_{2} (\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)})$ を簡約します。

$\log_{2} ({\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}}^{9}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.4

${\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}}^{9}$ を ${((x + 2) (x - 2))}^{3}$ に書き換えます。

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ステップ 1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}$ を ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\log_{2} ({({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3}})}^{9}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 9}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.4.3

$\frac{1}{3}$ と $9$ をまとめます。

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{9}{3}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.4.4

$9$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.4.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3 \cdot 3}{3}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.4.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.4.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.4.4.2.3

式を書き換えます。

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3}{1}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.4.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$\log_{2} ({(x (x - 2) + 2 (x - 2))}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.5.2

分配則を当てはめます。

$\log_{2} ({(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2))}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.5.3

分配則を当てはめます。

$\log_{2} ({(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.6

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.6.1

$x \cdot - 2$ と $2 x$ について因数を並べ替えます。

$\log_{2} ({(x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.6.2

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\log_{2} ({(x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.6.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$\log_{2} ({(x \cdot x + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.7

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\log_{2} ({(x^{2} + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.7.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\log_{2} ({(x^{2} - 4)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

ステップ 1.8

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \log_{2} (x - 2)$ を簡約します。

$\log_{2} ({(x^{2} - 4)}^{3}) - \log_{2} ({(x - 2)}^{2}) + \log_{2} (x)$

ステップ 2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{2} (\frac{{(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x - 2)}^{2}}) + \log_{2} (x)$

ステップ 3

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{2} (\frac{{(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\log_{2} (\frac{{(x^{2} - 2^{2})}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

ステップ 4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\log_{2} (\frac{{((x + 2) (x - 2))}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

ステップ 4.3

積の法則を $(x + 2) (x - 2)$ に当てはめます。

$\log_{2} (\frac{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

${(x - 2)}^{3}$ と ${(x - 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1

${(x - 2)}^{2}$ を ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}$ で因数分解します。

$\log_{2} (\frac{{(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2}} x)$

ステップ 5.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1

$1$ を掛けます。

$\log_{2} (\frac{{(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2} \cdot 1} x)$

ステップ 5.1.2.2

共通因数を約分します。

$\log_{2} (\frac{{(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2} \cdot 1} x)$

ステップ 5.1.2.3

式を書き換えます。

$\log_{2} (\frac{{(x + 2)}^{3} (x - 2)}{1} x)$

ステップ 5.1.2.4

${(x + 2)}^{3} (x - 2)$ を $1$ で割ります。

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2) x)$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\log_{2} (({(x + 2)}^{3} x + {(x + 2)}^{3} \cdot - 2) x)$

ステップ 5.3

$- 2$ を ${(x + 2)}^{3}$ の左に移動させます。

$\log_{2} (({(x + 2)}^{3} x - 2 \cdot {(x + 2)}^{3}) x)$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} x \cdot x - 2 {(x + 2)}^{3} x)$

ステップ 6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$x$ を移動させます。

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} (x \cdot x) - 2 {(x + 2)}^{3} x)$

ステップ 6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} x^{2} - 2 {(x + 2)}^{3} x)$

ステップ 7

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} x^{2} - 2 {(x + 2)}^{3} x)$ の因数を並べ替えます。

$\log_{2} (x^{2} {(x + 2)}^{3} - 2 x {(x + 2)}^{3})$

微分積分学準備 例

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