微分積分学準備例

$\log_{3} (x^{2} - 1) + 2 \log_{3} (2 x - 2) - 3 \log_{3} (x - 1)$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log_{3} (2 x - 2)$ を簡約します。

$\log_{3} (x^{2} - 1) + \log_{3} ({(2 x - 2)}^{2}) - 3 \log_{3} (x - 1)$

ステップ 1.2

対数の中の $3$ を移動させて $- 3 \log_{3} (x - 1)$ を簡約します。

$\log_{3} (x^{2} - 1) + \log_{3} ({(2 x - 2)}^{2}) - \log_{3} ({(x - 1)}^{3})$

ステップ 2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{3} ((x^{2} - 1) {(2 x - 2)}^{2}) - \log_{3} ({(x - 1)}^{3})$

ステップ 3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{3} (\frac{(x^{2} - 1) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\log_{3} (\frac{(x^{2} - 1^{2}) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

ステップ 4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

ステップ 4.3

$2$ を $2 x - 2$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x) - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

ステップ 4.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x) + 2 (- 1))}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

ステップ 4.3.3

$2$ を $2 (x) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x - 1))}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

ステップ 4.4

積の法則を $2 (x - 1)$ に当てはめます。

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) \cdot 2^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

ステップ 4.5

指数を足して $x - 1$ に ${(x - 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.5.1

${(x - 1)}^{2}$ を移動させます。

$\log_{3} (\frac{(x + 1) ({(x - 1)}^{2} (x - 1)) \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

ステップ 4.5.2

${(x - 1)}^{2}$ に $x - 1$ をかけます。

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ステップ 4.5.2.1

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$\log_{3} (\frac{(x + 1) ({(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{1}) \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

ステップ 4.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{2 + 1} \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

ステップ 4.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

ステップ 4.6

$2$ を $2$ 乗します。

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 4}{{(x - 1)}^{3}})$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

${(x - 1)}^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1

共通因数を約分します。

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 4}{{(x - 1)}^{3}})$

ステップ 5.1.2

$(x + 1) \cdot 4$ を $1$ で割ります。

$\log_{3} ((x + 1) \cdot 4)$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\log_{3} (x \cdot 4 + 1 \cdot 4)$

ステップ 5.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\log_{3} (4 \cdot x + 1 \cdot 4)$

ステップ 5.3.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\log_{3} (4 x + 4)$

微分積分学準備 例

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