微分積分学準備例

$2 \log_{2} (x) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x - 27)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log_{2} (x)$ を簡約します。

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x - 27)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x) + \log (2) \cdot - 27) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.3

対数の中の $27$ を移動させて $27 \log (2)$ を簡約します。

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x + \log (2) \cdot - 27) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.4

$\log (2) \cdot - 27$ を掛けます。

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ステップ 1.4.1

$\log (2)$ と $- 27$ を並べ替えます。

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x - 27 \cdot \log (2)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.4.2

対数の中の $27$ を移動させて $- 27 \cdot \log (2)$ を簡約します。

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x - \log (2^{27})) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.5

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ を $27$ 乗します。

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (134217728) x - \log (2^{27})) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.5.2

$2$ を $27$ 乗します。

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (134217728) x - \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.6

分配則を当てはめます。

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} (\log (134217728) x) + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.7

$\frac{1}{3} (\log (134217728) x)$ を掛けます。

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ステップ 1.7.1

$\log (134217728)$ と $\frac{1}{3}$ を並べ替えます。

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \log (134217728) x + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.7.2

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \log (134217728)$ を簡約します。

$\log_{2} (x^{2}) + \log (134217728^{\frac{1}{3}}) x + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.8

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \log (134217728)$ を簡約します。

$\log_{2} (x^{2}) + \log (134217728^{\frac{1}{3}}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.9

各項を簡約します。

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ステップ 1.9.1

$134217728$ を $512^{3}$ に書き換えます。

$\log_{2} (x^{2}) + \log ({(512^{3})}^{\frac{1}{3}}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.9.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.9.3.1

共通因数を約分します。

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.9.3.2

式を書き換えます。

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{1}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.9.4

指数を求めます。

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.9.5

$134217728$ を $512^{3}$ に書き換えます。

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log ({(512^{3})}^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.9.6

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.9.7

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.9.7.1

共通因数を約分します。

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.9.7.2

式を書き換えます。

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{1}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.9.8

指数を求めます。

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

ステップ 1.10

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \log_{2} (x^{3} - x)$ を簡約します。

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512) - \log_{2} ({(x^{3} - x)}^{2})$

ステップ 2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{3} - x)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $x^{3} - x$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x^{2} - x)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

ステップ 3.1.1.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

ステップ 3.1.1.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x^{2} - 1))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

ステップ 3.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x^{2} - 1^{2}))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

ステップ 3.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1) (x - 1))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

ステップ 3.1.4

積の法則を $x (x + 1) (x - 1)$ に当てはめます。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1))}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

ステップ 3.1.5

分配則を当てはめます。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

ステップ 3.1.6

$x$ に $x$ をかけます。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

ステップ 3.1.7

$x$ に $1$ をかけます。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + x)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

ステップ 3.1.8

$x$ を $x^{2} + x$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.8.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

ステップ 3.1.8.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x^{1})}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

ステップ 3.1.8.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

ステップ 3.1.8.4

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 1$ で因数分解します。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1))}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

ステップ 3.1.9

積の法則を $x (x + 1)$ に当てはめます。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

ステップ 3.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

ステップ 4

$\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$ の因数を並べ替えます。

$\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + x \log (512) - \log (512)$

微分積分学準備 例

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