微分積分学準備例

$\ln (\frac{x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}}{e^{2 x}})$

ステップ 1

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}}{e^{2 x}}$ を $x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x} {(e^{2 x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x} {(e^{2 x})}^{- 1})$

ステップ 2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x} e^{2 x \cdot - 1})$

ステップ 3

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x} e^{2 x \cdot - 1})$ を $\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) + \ln (e^{2 x \cdot - 1})$ に書き換えます。

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) + \ln (e^{2 x \cdot - 1})$

ステップ 4

対数の法則を利用して指数の外に $2 x \cdot - 1$ を移動します。

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) + 2 x \cdot - 1 \ln (e)$

ステップ 5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) - 2 x \ln (e)$

ステップ 6

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) - 2 x \cdot 1$

ステップ 7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) - 2 x$

ステップ 8

各項を簡約します。

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ステップ 8.1

$x$ を $x^{4} - x$ で因数分解します。

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ステップ 8.1.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x \cdot x^{3} - x}) - 2 x$

ステップ 8.1.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot - 1}) - 2 x$

ステップ 8.1.3

$x$ を $x \cdot x^{3} + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x (x^{3} - 1)}) - 2 x$

ステップ 8.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x (x^{3} - 1^{3})}) - 2 x$

ステップ 8.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}) - 2 x$

ステップ 8.4

簡約します。

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ステップ 8.4.1

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}) - 2 x$

ステップ 8.4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x ((x - 1) (x^{2} + x + 1))}) - 2 x$

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x (x - 1) (x^{2} + x + 1)}) - 2 x$

ステップ 9

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x (x - 1) (x^{2} + x + 1)})$ と $- 2 x$ を並べ替えます。

$- 2 x + \ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x (x - 1) (x^{2} + x + 1)})$

微分積分学準備 例

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