微分積分学準備例

$\ln (\sqrt{x}) + \frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\frac{1}{y})$

ステップ 1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (\sqrt{x} \frac{y}{x}) + \frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\frac{1}{y})$

ステップ 2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\sqrt{x} \frac{y}{x} \frac{1}{y})$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\sqrt{x} \frac{y}{x} \frac{1}{y})$

ステップ 3.2

$\sqrt{x}$ と $\frac{y}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{\sqrt{x} y}{x} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 3.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$y$ を $\sqrt{x} y$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{y \sqrt{x}}{x} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{y \sqrt{x}}{x} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{\sqrt{x}}{x})$

ステップ 4

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{x}}{x})$

ステップ 5

各項を簡約します。

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ステップ 5.1

$x^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{x}}{x}$ を掛けます。

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ステップ 5.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{\sqrt{x}}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x})$

ステップ 5.1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x})$

ステップ 5.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{x})$

ステップ 5.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}}}{x})$

ステップ 5.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{x})$

ステップ 5.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{x})$

ステップ 5.1.6.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{1}}{x})$

ステップ 5.2

$x^{1}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x})$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x^{1}})$

ステップ 5.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x \cdot 1})$

ステップ 5.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x \cdot 1})$

ステップ 5.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{1}{1})$

ステップ 5.2.2.5

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (1)$

ステップ 5.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + 0$

ステップ 6

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)}$

微分積分学準備 例

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