微分積分学準備例

$\ln (\frac{x}{x - 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

ステップ 1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{\frac{x}{x - 1}}{x^{2} - 1})$

ステップ 2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\ln (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1})$

ステップ 3

分母を簡約します。

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ステップ 3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\ln (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1^{2}})$

ステップ 3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\ln (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)})$

ステップ 4

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$\frac{x}{x - 1}$ に $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ をかけます。

$\ln (\frac{x}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))})$

ステップ 4.2

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{1} (x - 1) (x + 1)})$

ステップ 4.3

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x + 1)})$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)})$

ステップ 4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)})$

微分積分学準備 例