微分積分学準備例

$\sum_{k = 1}^{6} (k - 2) (k + 1)$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(k - 2) (k + 1)$ を展開します。

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ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$k (k + 1) - 2 (k + 1)$

ステップ 1.1.2

分配則を当てはめます。

$k \cdot k + k \cdot 1 - 2 (k + 1)$

ステップ 1.1.3

分配則を当てはめます。

$k \cdot k + k \cdot 1 - 2 k - 2 \cdot 1$

ステップ 1.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

$k$ に $k$ をかけます。

$k^{2} + k \cdot 1 - 2 k - 2 \cdot 1$

ステップ 1.2.1.2

$k$ に $1$ をかけます。

$k^{2} + k - 2 k - 2 \cdot 1$

ステップ 1.2.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$k^{2} + k - 2 k - 2$

ステップ 1.2.2

$k$ から $2 k$ を引きます。

$k^{2} - k - 2$

ステップ 1.3

総和を書き換えます。

$\sum_{k = 1}^{6} k^{2} - k - 2$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{6} k^{2} - k - 2 = \sum_{k = 1}^{6} k^{2} - 1 \sum_{k = 1}^{6} k + \sum_{k = 1}^{6} - 2$

ステップ 3

$\sum_{k = 1}^{6} k^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 3.2

値を公式に代入します。

$\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

ステップ 3.3.1.2

$(6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)$ を $1$ で割ります。

$(6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)$

ステップ 3.3.2

式を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$6$ と $1$ をたし算します。

$7 (2 \cdot 6 + 1)$

ステップ 3.3.2.2

$2$ に $6$ をかけます。

$7 (12 + 1)$

ステップ 3.3.2.3

$12$ と $1$ をたし算します。

$7 \cdot 13$

ステップ 3.3.2.4

$7$ に $13$ をかけます。

$91$

ステップ 4

$1 \sum_{k = 1}^{6} k$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 4.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- 1) (\frac{6 (6 + 1)}{2})$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$6$ と $1$ をたし算します。

$- 1 \frac{6 \cdot 7}{2}$

ステップ 4.3.2

$6$ に $7$ をかけます。

$- 1 (\frac{42}{2})$

ステップ 4.3.3

$42$ を $2$ で割ります。

$- 1 \cdot 21$

ステップ 4.3.4

$- 1$ に $21$ をかけます。

$- 21$

ステップ 5

$\sum_{k = 1}^{6} - 2$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 5.2

値を公式に代入します。

$(- 2) (6)$

ステップ 5.3

$- 2$ に $6$ をかけます。

$- 12$

ステップ 6

合計した結果をたします。

$91 - 21 - 12$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$91$ から $21$ を引きます。

$70 - 12$

ステップ 7.2

$70$ から $12$ を引きます。

$58$

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