微分積分学準備例

${(3 - 2 i)}^{3}$

ステップ 1

二項展開定理を利用して各項を求めます。二項定理は ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ を述べたものです。

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(3)}^{3 - k} \cdot {(- 2 i)}^{k}$

ステップ 2

総和を展開します。

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(3)}^{3 - 0} \cdot {(- 2 i)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(3)}^{3 - 1} \cdot {(- 2 i)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(3)}^{3 - 2} \cdot {(- 2 i)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(3)}^{3 - 3} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 3

展開の各項の指数を簡約します。

$1 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4

多項式の結果を簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

${(3)}^{3}$ に $1$ をかけます。

${(3)}^{3} \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.3

積の法則を $- 2 i$ に当てはめます。

$27 \cdot ({(- 2)}^{0} i^{0}) + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$27 \cdot (1 i^{0}) + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.5

$i^{0}$ に $1$ をかけます。

$27 \cdot i^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$27 \cdot 1 + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.7

$27$ に $1$ をかけます。

$27 + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.8

指数を足して $3$ に ${(3)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.8.1

$3$ に ${(3)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 4.1.8.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$27 + 3^{1} \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.8.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$27 + 3^{1 + 2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.8.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$27 + 3^{3} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.9

$3^{3} \cdot {(- 2 i)}^{1}$ を簡約します。

$27 + 3^{3} \cdot (- 2 i) + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.10

$3$ を $3$ 乗します。

$27 + 27 \cdot (- 2 i) + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.11

$- 2$ に $27$ をかけます。

$27 - 54 i + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.12

指数を求めます。

$27 - 54 i + 3 \cdot 3 \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.13

$3$ に $3$ をかけます。

$27 - 54 i + 9 \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.14

積の法則を $- 2 i$ に当てはめます。

$27 - 54 i + 9 \cdot ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.15

$- 2$ を $2$ 乗します。

$27 - 54 i + 9 \cdot (4 i^{2}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.16

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$27 - 54 i + 9 \cdot (4 \cdot - 1) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.17

$9 (4 \cdot - 1)$ を掛けます。

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ステップ 4.1.17.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$27 - 54 i + 9 \cdot - 4 + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.17.2

$9$ に $- 4$ をかけます。

$27 - 54 i - 36 + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.18

${(3)}^{0}$ に $1$ をかけます。

$27 - 54 i - 36 + {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.19

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$27 - 54 i - 36 + 1 \cdot {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.20

${(- 2 i)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$27 - 54 i - 36 + {(- 2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.21

積の法則を $- 2 i$ に当てはめます。

$27 - 54 i - 36 + {(- 2)}^{3} i^{3}$

ステップ 4.1.22

$- 2$ を $3$ 乗します。

$27 - 54 i - 36 - 8 i^{3}$

ステップ 4.1.23

$i^{2}$ を因数分解します。

$27 - 54 i - 36 - 8 (i^{2} \cdot i)$

ステップ 4.1.24

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$27 - 54 i - 36 - 8 (- 1 \cdot i)$

ステップ 4.1.25

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$27 - 54 i - 36 - 8 (- i)$

ステップ 4.1.26

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$27 - 54 i - 36 + 8 i$

ステップ 4.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.1

$27$ から $36$ を引きます。

$- 9 - 54 i + 8 i$

ステップ 4.2.2

$- 54 i$ と $8 i$ をたし算します。

$- 9 - 46 i$

微分積分学準備 例

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