微分積分学準備例

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5}{2} \cdot i$

ステップ 1

$\frac{5}{2}$ と $i$ をまとめます。

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5 i}{2}$

ステップ 2

$6 i$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} + 6 i \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 i}{2}$

ステップ 3

$6 i$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} + \frac{6 i \cdot 2}{2} + \frac{5 i}{2}$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} + \frac{17 i}{2}$

ステップ 5

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 6

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 7

$a = \frac{2}{3}$ と $b = \frac{17}{2}$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(\frac{17}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

ステップ 8

$| z |$ を求めます。

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ステップ 8.1

積の法則を $\frac{17}{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{\frac{17^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

ステップ 8.2

$17$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{289}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

ステップ 8.3

$2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

ステップ 8.4

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 8.5

$2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{3^{2}}}$

ステップ 8.6

$3$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{9}}$

ステップ 8.7

$\frac{289}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9}}$

ステップ 8.8

$\frac{4}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 8.9

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $36$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.9.1

$\frac{289}{4}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 8.9.2

$4$ に $9$ をかけます。

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 8.9.3

$\frac{4}{9}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4}}$

ステップ 8.9.4

$9$ に $4$ をかけます。

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{36}}$

ステップ 8.10

公分母の分子をまとめます。

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9 + 4 \cdot 4}{36}}$

ステップ 8.11

分子を簡約します。

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ステップ 8.11.1

$289$ に $9$ をかけます。

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 4 \cdot 4}{36}}$

ステップ 8.11.2

$4$ に $4$ をかけます。

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 16}{36}}$

ステップ 8.11.3

$2601$ と $16$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{\frac{2617}{36}}$

ステップ 8.12

$\sqrt{\frac{2617}{36}}$ を $\frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$ に書き換えます。

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$

ステップ 8.13

分母を簡約します。

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ステップ 8.13.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{6^{2}}}$

ステップ 8.13.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$

ステップ 9

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}})$

ステップ 10

$\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}}$ の逆正接が第一象限で角を作るので、角の値は $1.49252518$ です。

$θ = 1.49252518$

ステップ 11

$θ = 1.49252518$ と $| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$ の値を代入します。

$\frac{\sqrt{2617}}{6 (\cos (1.49252518) + i \sin (1.49252518))}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例