微分積分学準備例

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 9}$ , $g (x) = \sqrt{x - 2}$

ステップ 1

関数の商を求めます。

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ステップ 1.1

関数指示子を $\frac{f (x)}{g (x)}$ の実際の関数に置き換えます。

$\frac{\frac{1}{x^{2} - 9}}{\sqrt{x - 2}}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{x^{2} - 9} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

ステップ 1.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

ステップ 1.2.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

ステップ 1.2.3

$\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ に $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ をかけます。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} (\frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}})$

ステップ 1.2.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ に $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ をかけます。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}}$

ステップ 1.2.4.2

$\sqrt{x - 2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}}$

ステップ 1.2.4.3

$\sqrt{x - 2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}}$

ステップ 1.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}}$

ステップ 1.2.4.6

${\sqrt{x - 2}}^{2}$ を $x - 2$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 2}$ を ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.2.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{1}}$

ステップ 1.2.4.6.5

簡約します。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

ステップ 1.2.5

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ に $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$

ステップ 2

$\sqrt{x - 2}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x - 2 \geq 0$

ステップ 3

不等式の両辺に $2$ を足します。

$x \geq 2$

ステップ 4

$\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 5.2

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 5.3

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.3.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 5.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 5.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 5.5

最終解は $(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, 3, 2$

ステップ 6

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(2, 3) \cup (3, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 2, x \neq 3}$

ステップ 7

微分積分学準備 例

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