微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ , $g (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

関数指示子を $f (x) + g (x)$ の実際の関数に置き換えます。

$\sqrt{x^{2} - 4} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{x^{2} - 2^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.2

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} + 1) + x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} x^{2} + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot 1 + x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.4.2

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} x^{2} + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + x^{2}}{x^{2} + 1}$

微分積分学準備 例