微分積分学準備例

$25 x^{2} + 2 y^{2} = 50$

ステップ 1

方程式の両辺から $25 x^{2}$ を引きます。

$2 y^{2} = 50 - 25 x^{2}$

ステップ 2

$2 y^{2} = 50 - 25 x^{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$2 y^{2} = 50 - 25 x^{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{50}{2} + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{50}{2} + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

ステップ 2.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{50}{2} + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$50$ を $2$ で割ります。

$y^{2} = 25 + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

ステップ 2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = 25 - \frac{25 x^{2}}{2}$

ステップ 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{2}}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$25$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{25 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25 x^{2}}{2}}$

ステップ 4.2

$25$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2} - \frac{25 x^{2}}{2}}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 2 - 25 x^{2}}{2}}$

ステップ 4.4

$25$ を $25 \cdot 2 - 25 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.1

$25$ を $25 \cdot 2$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (2) - 25 x^{2}}{2}}$

ステップ 4.4.2

$25$ を $- 25 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (2) + 25 (- x^{2})}{2}}$

ステップ 4.4.3

$25$ を $25 (2) + 25 (- x^{2})$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (2 - x^{2})}{2}}$

ステップ 4.5

$\sqrt{\frac{25 (2 - x^{2})}{2}}$ を $\frac{\sqrt{25 (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{25 (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{5^{2} (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.6.2

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.7

$\frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.8

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.8.1

$\frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 4.8.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 4.8.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 4.8.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.8.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 4.8.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 4.8.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.8.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.8.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.8.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.8.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.8.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 4.8.6.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.9

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

$y = \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

ステップ 6

$\sqrt{2 (2 - x^{2})}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2 (2 - x^{2}) \geq 0$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

$2 (2 - x^{2}) \geq 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1.1

$2 (2 - x^{2}) \geq 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (2 - x^{2})}{2} \geq \frac{0}{2}$

ステップ 7.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 - x^{2})}{2} \geq \frac{0}{2}$

ステップ 7.1.2.1.2

$2 - x^{2}$ を $1$ で割ります。

$2 - x^{2} \geq \frac{0}{2}$

ステップ 7.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$2 - x^{2} \geq 0$

ステップ 7.2

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$- x^{2} \geq - 2$

ステップ 7.3

$- x^{2} \geq - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.3.1

$- x^{2} \geq - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 7.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 7.3.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 7.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} \leq 2$

ステップ 7.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

ステップ 7.5

左辺を簡約します。

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ステップ 7.5.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{2}$

ステップ 7.6

$| x | \leq \sqrt{2}$ を区分で書きます。

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ステップ 7.6.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 7.6.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq \sqrt{2}$

ステップ 7.6.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 7.6.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq \sqrt{2}$

ステップ 7.6.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

ステップ 7.7

$x \leq \sqrt{2}$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

ステップ 7.8

$x < 0$ のとき、 $- x \leq \sqrt{2}$ を解きます。

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ステップ 7.8.1

$- x \leq \sqrt{2}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.8.1.1

$- x \leq \sqrt{2}$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 7.8.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.8.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 7.8.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 7.8.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.8.1.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

ステップ 7.8.1.3.2

$- 1 \cdot \sqrt{2}$ を $- \sqrt{2}$ に書き換えます。

$x \geq - \sqrt{2}$

ステップ 7.8.2

$x \geq - \sqrt{2}$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

ステップ 7.9

解の和集合を求めます。

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

ステップ 8

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

集合の内包的記法：

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

ステップ 9

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- 5, 5]$

集合の内包的記法：

${y | - 5 \leq y \leq 5}$

ステップ 10

定義域と値域を判定します。

定義域： $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}], {x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

値域： $[- 5, 5], {y | - 5 \leq y \leq 5}$

ステップ 11

微分積分学準備 例

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