微分積分学準備例

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin (\frac{w}{2})$

ステップ 1

正弦の定義を利用して単位円直角三角形の既知の辺を求めます。象限は、それぞれの値の符号を決定します。

$\sin (w) = \frac{反対}{斜辺}$

ステップ 2

単位円の三角形の隣接辺を求めます。斜辺と対辺が分かっているので、ピタゴラスの定理を利用して残りの辺を求めます。

$隣接 = \sqrt{{斜辺}^{2} - {反対}^{2}}$

ステップ 3

方程式の既知数を置き換えます。

$隣接 = \sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 4

根の内側を簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ を $2$ 乗します。

隣辺 $= \sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 4.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

隣辺 $= \sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

隣辺 $= \sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

隣辺 $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.4.1

共通因数を約分します。

隣辺 $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.2.4.2

式を書き換えます。

隣辺 $= \sqrt{4 - 3}$

ステップ 4.2.5

指数を求めます。

隣辺 $= \sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

ステップ 4.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

隣辺 $= \sqrt{4 - 3}$

ステップ 4.4

$4$ から $3$ を引きます。

隣辺 $= \sqrt{1}$

ステップ 4.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

隣辺 $= 1$

ステップ 5

正弦の定義を利用して $\sin (w)$ の値を求めます。

$\sin (w) = \frac{反対}{斜辺}$

ステップ 6

既知数に代入します。

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 7

$\sin (\frac{w}{2})$ を $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ に展開します。

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ステップ 7.1

制限半角の公式を当てはめます。

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$

ステップ 7.2

$\sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$

ステップ 7.3

$\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 7.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 7.4.1

$\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 7.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 7.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 7.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 7.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 7.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 7.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 7.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 7.4.6.5

指数を求めます。

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$

ステップ 7.6

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$

ステップ 8

$c o s$ の定義を利用して $\cos (w)$ の値を求めます。この場合、 $\cos (w) = \frac{1}{2}$ です。

$\cos (w) = \frac{1}{2}$

ステップ 9

値を $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ に代入します。

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (1 - \frac{1}{2})}}{2}$

ステップ 10

分子を簡約します。

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ステップ 10.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}}{2}$

ステップ 10.2

公分母の分子をまとめます。

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2 - 1}{2})}}{2}$

ステップ 10.3

$2$ から $1$ を引きます。

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

ステップ 10.4

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{\frac{2}{2}}}{2}$

ステップ 10.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{1}}{2}$

ステップ 10.6

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{1}{2}$

微分積分学準備 例

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