微分積分学準備例

$\cos (\frac{5 π}{8}) = - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ , $\sin (\frac{5 π}{16})$

ステップ 1

余弦の定義を利用して単位円直角三角形の既知の辺を求めます。象限は、それぞれの値の符号を決定します。

$\cos (\frac{5 π}{8}) = \frac{隣接}{斜辺}$

ステップ 2

単位円の三角形の対辺を求めます。隣接辺と斜辺が分かっているので、ピタゴラスの定理を利用して残りの辺を求めます。

$反対 = \sqrt{{斜辺}^{2} - {隣接}^{2}}$

ステップ 3

方程式の既知数を置き換えます。

$反対 = \sqrt{{(1)}^{2} - {(- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

ステップ 4

根の内側を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ です。

対辺 $= \sqrt{(1 - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}) (1 - (- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}))}$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ と $v$ をまとめます。

対辺 $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 - (- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}))}$

ステップ 4.2.2

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ と $v$ をまとめます。

対辺 $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

ステップ 4.2.3

$- - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

対辺 $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + 1 (\frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}))}$

ステップ 4.2.3.2

$\frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}$ に $1$ をかけます。

対辺 $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

ステップ 5

正弦の定義を利用して $\sin (\frac{5 π}{8})$ の値を求めます。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{反対}{斜辺}$

ステップ 6

既知数に代入します。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{\sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}}{1}$

ステップ 7

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$\sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$ を $1$ で割ります。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

ステップ 7.1.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{(\frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

ステップ 7.2

公分母の分子をまとめます。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - (2 - \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

ステップ 7.3

因数分解した形で $\frac{2 - (2 - \sqrt{2}) v}{2}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

分配則を当てはめます。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 1 \cdot 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

ステップ 7.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

ステップ 7.3.3

$- - \sqrt{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + 1 \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

ステップ 7.3.3.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

ステップ 7.3.4

分配則を当てはめます。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

ステップ 7.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot (\frac{2}{2} + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

ステップ 7.5

公分母の分子をまとめます。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot \frac{2 + (2 - \sqrt{2}) v}{2}}$

ステップ 7.6

分配則を当てはめます。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot \frac{2 + 2 v - \sqrt{2} v}{2}}$

ステップ 7.7

$\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2}$ に $\frac{2 + 2 v - \sqrt{2} v}{2}$ をかけます。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{2 \cdot 2}}$

ステップ 7.8

$2$ に $2$ をかけます。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{4}}$

ステップ 7.9

$\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.9.1

$(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{4}}$

ステップ 7.9.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 7.9.3

分数 $\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}$

ステップ 7.10

累乗根の下から項を取り出します。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}$

ステップ 7.11

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}$ をまとめます。

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{\sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}}{2}$

ステップ 8

$\sin (\frac{5 π}{16})$ の値を求めます。

$0.83146961$

ステップ 9

値を $0.83146961$ に代入します。

$\sin (\frac{5 π}{16}) = 0.83146961$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例