微分積分学準備例

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ , $g (x) = \sqrt{x + 3}$

ステップ 1

関数指示子を $f (x) + g (x)$ の実際の関数に置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} - 1} + \sqrt{x + 3}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}} + \sqrt{x + 3}$

ステップ 2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \sqrt{x + 3}$

ステップ 2.2

$\sqrt{x + 3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ を掛けます。

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \sqrt{x + 3} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.3

項を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$\sqrt{x + 3}$ と $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ をまとめます。

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{\sqrt{x + 3} ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 2.4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x (x - 1) + 1 (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.4.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.4.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.4.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.4.2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.4.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x^{2} - x + x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.4.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x^{2} + 0 - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.4.2.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} x^{2} + \sqrt{x + 3} \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.4.4

$- 1$ を $\sqrt{x + 3}$ の左に移動させます。

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} x^{2} - 1 \cdot \sqrt{x + 3}}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.4.5

各項を簡約します。

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} x^{2} - \sqrt{x + 3}}{(x + 1) (x - 1)}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例