微分積分学準備例

${(4 x + 5)}^{4}$

ステップ 1

二項展開定理を利用して各項を求めます。二項定理は ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ を述べたものです。

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(4 x)}^{4 - k} \cdot {(5)}^{k}$

ステップ 2

総和を展開します。

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(4 x)}^{4 - 0} \cdot {(5)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(4 x)}^{4 - 1} \cdot {(5)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(4 x)}^{4 - 2} \cdot {(5)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(4 x)}^{4 - 3} \cdot {(5)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(4 x)}^{4 - 4} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 3

展開の各項の指数を簡約します。

$1 \cdot {(4 x)}^{4} \cdot {(5)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

${(4 x)}^{4}$ に $1$ をかけます。

${(4 x)}^{4} \cdot {(5)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.2

積の法則を $4 x$ に当てはめます。

$4^{4} x^{4} \cdot {(5)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.3

$4$ を $4$ 乗します。

$256 x^{4} \cdot {(5)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$256 x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.5

$256$ に $1$ をかけます。

$256 x^{4} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.6

積の法則を $4 x$ に当てはめます。

$256 x^{4} + 4 \cdot (4^{3} x^{3}) \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.7

指数を足して $4$ に $4^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

$4^{3}$ を移動させます。

$256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4 \cdot x^{3} \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.7.2

$4^{3}$ に $4$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.1

$4$ を $1$ 乗します。

$256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4^{1} \cdot x^{3} \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$256 x^{4} + 4^{3 + 1} \cdot x^{3} \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.7.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$256 x^{4} + 4^{4} \cdot x^{3} \cdot {(5)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.8

$4^{4} \cdot x^{3} \cdot {(5)}^{1}$ を簡約します。

$256 x^{4} + 4^{4} \cdot x^{3} \cdot 5 + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.9

$4$ を $4$ 乗します。

$256 x^{4} + 256 \cdot x^{3} \cdot 5 + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.10

$5$ に $256$ をかけます。

$256 x^{4} + 1280 x^{3} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.11

積の法則を $4 x$ に当てはめます。

$256 x^{4} + 1280 x^{3} + 6 \cdot (4^{2} x^{2}) \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.12

$4$ を $2$ 乗します。

$256 x^{4} + 1280 x^{3} + 6 \cdot (16 x^{2}) \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.13

$16$ に $6$ をかけます。

$256 x^{4} + 1280 x^{3} + 96 x^{2} \cdot {(5)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.14

$5$ を $2$ 乗します。

$256 x^{4} + 1280 x^{3} + 96 x^{2} \cdot 25 + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.15

$25$ に $96$ をかけます。

$256 x^{4} + 1280 x^{3} + 2400 x^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.16

簡約します。

$256 x^{4} + 1280 x^{3} + 2400 x^{2} + 4 \cdot (4 x) \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.17

$4$ に $4$ をかけます。

$256 x^{4} + 1280 x^{3} + 2400 x^{2} + 16 x \cdot {(5)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.18

$5$ を $3$ 乗します。

$256 x^{4} + 1280 x^{3} + 2400 x^{2} + 16 x \cdot 125 + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.19

$125$ に $16$ をかけます。

$256 x^{4} + 1280 x^{3} + 2400 x^{2} + 2000 x + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.20

${(4 x)}^{0}$ に $1$ をかけます。

$256 x^{4} + 1280 x^{3} + 2400 x^{2} + 2000 x + {(4 x)}^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.21

積の法則を $4 x$ に当てはめます。

$256 x^{4} + 1280 x^{3} + 2400 x^{2} + 2000 x + 4^{0} x^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.22

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$256 x^{4} + 1280 x^{3} + 2400 x^{2} + 2000 x + 1 x^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.23

$x^{0}$ に $1$ をかけます。

$256 x^{4} + 1280 x^{3} + 2400 x^{2} + 2000 x + x^{0} \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.24

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$256 x^{4} + 1280 x^{3} + 2400 x^{2} + 2000 x + 1 \cdot {(5)}^{4}$

ステップ 4.25

${(5)}^{4}$ に $1$ をかけます。

$256 x^{4} + 1280 x^{3} + 2400 x^{2} + 2000 x + {(5)}^{4}$

ステップ 4.26

$5$ を $4$ 乗します。

$256 x^{4} + 1280 x^{3} + 2400 x^{2} + 2000 x + 625$

微分積分学準備 例

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