微分積分学準備例

$1 = \frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81}$

ステップ 1

方程式を $\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$ として書き換えます。

$\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{4} + 81, 1$

ステップ 2.2

括弧を削除します。

$x^{4} + 81, 1$

ステップ 2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{4} + 81$

ステップ 3

$\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$ の各項に $x^{4} + 81$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1

$\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$ の各項に $x^{4} + 81$ を掛けます。

$\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} (x^{4} + 81) = 1 (x^{4} + 81)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$x^{4} + 81$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} (x^{4} + 81) = 1 (x^{4} + 81)$

ステップ 3.2.1.2

式を書き換えます。

$18 x^{2} = 1 (x^{4} + 81)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$x^{4} + 81$ に $1$ をかけます。

$18 x^{2} = x^{4} + 81$

ステップ 4

方程式を解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $x^{4}$ を引きます。

$18 x^{2} - x^{4} = 81$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $81$ を引きます。

$18 x^{2} - x^{4} - 81 = 0$

ステップ 4.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ を $18 x^{2} - x^{4} - 81$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.1.1

$18 x^{2}$ と $- x^{4}$ を並べ替えます。

$- x^{4} + 18 x^{2} - 81 = 0$

ステップ 4.3.1.2

$- 1$ を $- x^{4}$ で因数分解します。

$- (x^{4}) + 18 x^{2} - 81 = 0$

ステップ 4.3.1.3

$- 1$ を $18 x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{4}) - (- 18 x^{2}) - 81 = 0$

ステップ 4.3.1.4

$- 81$ を $- 1 (81)$ に書き換えます。

$- (x^{4}) - (- 18 x^{2}) - 1 \cdot 81 = 0$

ステップ 4.3.1.5

$- 1$ を $- (x^{4}) - (- 18 x^{2})$ で因数分解します。

$- (x^{4} - 18 x^{2}) - 1 \cdot 81 = 0$

ステップ 4.3.1.6

$- 1$ を $- (x^{4} - 18 x^{2}) - 1 (81)$ で因数分解します。

$- (x^{4} - 18 x^{2} + 81) = 0$

ステップ 4.3.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- ({(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} + 81) = 0$

ステップ 4.3.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- (u^{2} - 18 u + 81) = 0$

ステップ 4.3.4

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.3.4.1

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$- (u^{2} - 18 u + 9^{2}) = 0$

ステップ 4.3.4.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$18 u = 2 \cdot u \cdot 9$

ステップ 4.3.4.3

多項式を書き換えます。

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

ステップ 4.3.4.4

$a = u$ と $b = 9$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- {(u - 9)}^{2} = 0$

ステップ 4.3.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- {(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

ステップ 4.3.6

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$- {(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

ステップ 4.3.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$- {((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

ステップ 4.3.8

因数分解。

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ステップ 4.3.8.1

積の法則を $(x + 3) (x - 3)$ に当てはめます。

$- ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$

ステップ 4.3.8.2

不要な括弧を削除します。

$- {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 4.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 4.5

${(x + 3)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.5.1

${(x + 3)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 4.5.2

$x$ について ${(x + 3)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.5.2.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 4.5.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 4.6

${(x - 3)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.6.1

${(x - 3)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 4.6.2

$x$ について ${(x - 3)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.6.2.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 4.6.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 4.7

最終解は $- {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, 3$

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