微分積分学準備例

$x = \frac{y^{2}}{24} - \frac{7 y}{12} + \frac{97}{24}$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{y^{2}}{24} - \frac{7 y}{12} + \frac{97}{24}$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{24}$

$b = - \frac{7}{12}$

$c = \frac{97}{24}$

ステップ 1.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- \frac{7}{12}}{2 (\frac{1}{24})}$

ステップ 1.1.1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = - \frac{7}{12} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{24})}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

$2$ と $\frac{1}{24}$ をまとめます。

$d = - \frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2}{24}}$

ステップ 1.1.1.3.2.3

$2$ と $24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$d = - \frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{24}}$

ステップ 1.1.1.3.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.3.2.1

$2$ を $24$ で因数分解します。

$d = - \frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}}$

ステップ 1.1.1.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$d = - \frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}}$

ステップ 1.1.1.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$d = - \frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\frac{1}{12}}$

ステップ 1.1.1.3.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = - \frac{7}{12} (1 \cdot 12)$

ステップ 1.1.1.3.2.5

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.5.1

$- \frac{7}{12}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$d = \frac{- 7}{12} (1 \cdot 12)$

ステップ 1.1.1.3.2.5.2

$12$ を $1 \cdot 12$ で因数分解します。

$d = \frac{- 7}{12} (12 \cdot 1)$

ステップ 1.1.1.3.2.5.3

共通因数を約分します。

$d = \frac{- 7}{12} (12 \cdot 1)$

ステップ 1.1.1.3.2.5.4

式を書き換えます。

$d = - 7$

ステップ 1.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{97}{24} - \frac{{(- \frac{7}{12})}^{2}}{4 (\frac{1}{24})}$

ステップ 1.1.1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{7}{12}$ に当てはめます。

$e = \frac{97}{24} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{7}{12})}^{2}}{4 (\frac{1}{24})}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{97}{24} - \frac{1 {(\frac{7}{12})}^{2}}{4 (\frac{1}{24})}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.1.3

積の法則を $\frac{7}{12}$ に当てはめます。

$e = \frac{97}{24} - \frac{1 \frac{7^{2}}{12^{2}}}{4 (\frac{1}{24})}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.1.4

$7$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{97}{24} - \frac{1 \frac{49}{12^{2}}}{4 (\frac{1}{24})}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.1.5

$12$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{97}{24} - \frac{1 (\frac{49}{144})}{4 (\frac{1}{24})}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.1.6

$\frac{49}{144}$ に $1$ をかけます。

$e = \frac{97}{24} - \frac{\frac{49}{144}}{4 (\frac{1}{24})}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{24}$ をまとめます。

$e = \frac{97}{24} - \frac{\frac{49}{144}}{\frac{4}{24}}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.3

$4$ と $24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1.3.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$e = \frac{97}{24} - \frac{\frac{49}{144}}{\frac{4 (1)}{24}}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1.3.2.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$e = \frac{97}{24} - \frac{\frac{49}{144}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{97}{24} - \frac{\frac{49}{144}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$e = \frac{97}{24} - \frac{\frac{49}{144}}{\frac{1}{6}}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = \frac{97}{24} - (\frac{49}{144} \cdot 6)$

ステップ 1.1.1.4.2.1.5

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1.5.1

$6$ を $144$ で因数分解します。

$e = \frac{97}{24} - (\frac{49}{6 (24)} \cdot 6)$

ステップ 1.1.1.4.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{97}{24} - (\frac{49}{6 \cdot 24} \cdot 6)$

ステップ 1.1.1.4.2.1.5.3

式を書き換えます。

$e = \frac{97}{24} - \frac{49}{24}$

ステップ 1.1.1.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{97 - 49}{24}$

ステップ 1.1.1.4.2.3

$97$ から $49$ を引きます。

$e = \frac{48}{24}$

ステップ 1.1.1.4.2.4

$48$ を $24$ で割ります。

$e = 2$

ステップ 1.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{24} {(y - 7)}^{2} + 2$ に代入します。

$\frac{1}{24} {(y - 7)}^{2} + 2$

ステップ 1.1.2

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = \frac{1}{24} \cdot {(y - 7)}^{2} + 2$

ステップ 1.2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{24}$

$h = 2$

$k = 7$

ステップ 1.3

$a$ の値が正なので、放物線は右に開です。

右に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(2, 7)$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{24}}$

ステップ 1.5.3

簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$4$ と $\frac{1}{24}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{24}}$

ステップ 1.5.3.2

$4$ と $24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{24}}$

ステップ 1.5.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

ステップ 1.5.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{6}}$

ステップ 1.5.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \cdot 6$

ステップ 1.5.3.4

$6$ に $1$ をかけます。

$6$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(8, 7)$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = 7$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = - 4$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(2, 7)$

焦点： $(8, 7)$

対称軸： $y = 7$

準線： $x = - 4$

方向：右に開

頂点： $(2, 7)$

焦点： $(8, 7)$

対称軸： $y = 7$

準線： $x = - 4$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

$x$ 値の $3$ を $f (x) = 7 + 2 \sqrt{6 (x - 2)}$ に代入します。この場合、点は $(3, 11.89897948)$ です。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = 7 + 2 \sqrt{6 ((3) - 2)}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$3$ から $2$ を引きます。

$f (3) = 7 + 2 \sqrt{6 \cdot 1}$

ステップ 2.1.2.1.2

$6$ に $1$ をかけます。

$f (3) = 7 + 2 \sqrt{6}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $7 + 2 \sqrt{6}$ です。

$y = 7 + 2 \sqrt{6}$

ステップ 2.1.3

$7 + 2 \sqrt{6}$ を10進数に変換します。

$= 11.89897948$

ステップ 2.2

$x$ 値の $3$ を $f (x) = 7 - 2 \sqrt{6 (x - 2)}$ に代入します。この場合、点は $(3, 2.10102051)$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = 7 - 2 \sqrt{6 ((3) - 2)}$

ステップ 2.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$3$ から $2$ を引きます。

$f (3) = 7 - 2 \sqrt{6 \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.1.2

$6$ に $1$ をかけます。

$f (3) = 7 - 2 \sqrt{6}$

ステップ 2.2.2.2

最終的な答えは $7 - 2 \sqrt{6}$ です。

$y = 7 - 2 \sqrt{6}$

ステップ 2.2.3

$7 - 2 \sqrt{6}$ を10進数に変換します。

$= 2.10102051$

ステップ 2.3

$x$ 値の $4$ を $f (x) = 7 + 2 \sqrt{6 (x - 2)}$ に代入します。この場合、点は $(4, 13.92820323)$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = 7 + 2 \sqrt{6 ((4) - 2)}$

ステップ 2.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$4$ から $2$ を引きます。

$f (4) = 7 + 2 \sqrt{6 \cdot 2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$6$ に $2$ をかけます。

$f (4) = 7 + 2 \sqrt{12}$

ステップ 2.3.2.1.3

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.3.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$f (4) = 7 + 2 \sqrt{4 (3)}$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (4) = 7 + 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

ステップ 2.3.2.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (4) = 7 + 2 (2 \sqrt{3})$

ステップ 2.3.2.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$f (4) = 7 + 4 \sqrt{3}$

ステップ 2.3.2.2

最終的な答えは $7 + 4 \sqrt{3}$ です。

$y = 7 + 4 \sqrt{3}$

ステップ 2.3.3

$7 + 4 \sqrt{3}$ を10進数に変換します。

$= 13.92820323$

ステップ 2.4

$x$ 値の $4$ を $f (x) = 7 - 2 \sqrt{6 (x - 2)}$ に代入します。この場合、点は $(4, 0.07179676)$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = 7 - 2 \sqrt{6 ((4) - 2)}$

ステップ 2.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$4$ から $2$ を引きます。

$f (4) = 7 - 2 \sqrt{6 \cdot 2}$

ステップ 2.4.2.1.2

$6$ に $2$ をかけます。

$f (4) = 7 - 2 \sqrt{12}$

ステップ 2.4.2.1.3

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.3.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$f (4) = 7 - 2 \sqrt{4 (3)}$

ステップ 2.4.2.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (4) = 7 - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

ステップ 2.4.2.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (4) = 7 - 2 (2 \sqrt{3})$

ステップ 2.4.2.1.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f (4) = 7 - 4 \sqrt{3}$

ステップ 2.4.2.2

最終的な答えは $7 - 4 \sqrt{3}$ です。

$y = 7 - 4 \sqrt{3}$

ステップ 2.4.3

$7 - 4 \sqrt{3}$ を10進数に変換します。

$= 0.07179676$

ステップ 2.5

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 7 \\ 3 & 11.9 \\ 3 & 2.1 \\ 4 & 13.93 \\ 4 & 0.07 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(2, 7)$

焦点： $(8, 7)$

対称軸： $y = 7$

準線： $x = - 4$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 7 \\ 3 & 11.9 \\ 3 & 2.1 \\ 4 & 13.93 \\ 4 & 0.07 \end{array}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例