微分積分学準備例

$f (x) = 4 x^{4} - 24 x^{3} + 35 x^{2} + 6 x - 9$

ステップ 1

項を再分類します。

$f (x) = - 24 x^{3} + 6 x + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

ステップ 2

$- 6 x$ を $- 24 x^{3} + 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$- 6 x$ を $- 24 x^{3}$ で因数分解します。

$f (x) = - 6 x (4 x^{2}) + 6 x + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

ステップ 2.2

$- 6 x$ を $6 x$ で因数分解します。

$f (x) = - 6 x (4 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

ステップ 2.3

$- 6 x$ を $- 6 x (4 x^{2}) - 6 x (- 1)$ で因数分解します。

$f (x) = - 6 x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

ステップ 3

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = - 6 x ({(2 x)}^{2} - 1) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

ステップ 4

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = - 6 x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

ステップ 5

因数分解。

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ステップ 5.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 x$ であり、 $b = 1$ です。

$f (x) = - 6 x ((2 x + 1) (2 x - 1)) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

ステップ 5.2

不要な括弧を削除します。

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

ステップ 6

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 {(x^{2})}^{2} + 35 x^{2} - 9$

ステップ 7

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 35 u - 9$

ステップ 8

群による因数分解。

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ステップ 8.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ で和が $b = 35$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 8.1.1

$35$ を $35 u$ で因数分解します。

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 35 (u) - 9$

ステップ 8.1.2

$35$ を $- 1$ プラス $36$ に書き換える

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + (- 1 + 36) u - 9$

ステップ 8.1.3

分配則を当てはめます。

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 36 u - 9$

ステップ 8.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 8.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 36 u - 9$

ステップ 8.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) + 9 (4 u - 1)$

ステップ 8.3

最大公約数 $4 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u + 9)$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 x^{2} - 1) (x^{2} + 9)$

ステップ 10

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 9)$

ステップ 11

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 9)$

ステップ 12

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 x$ であり、 $b = 1$ です。

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$

ステップ 13

$(2 x + 1) (2 x - 1)$ を $- 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$ で因数分解します。

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ステップ 13.1

$(2 x + 1) (2 x - 1)$ を $- 6 x (2 x + 1) (2 x - 1)$ で因数分解します。

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$

ステップ 13.2

$(2 x + 1) (2 x - 1)$ を $(2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$ で因数分解します。

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 x + x^{2} + 9)$

ステップ 14

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 u + u^{2} + 9)$

ステップ 15

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 15.1

項を並べ替えます。

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (u^{2} - 6 u + 9)$

ステップ 15.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (u^{2} - 6 u + 3^{2})$

ステップ 15.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

ステップ 15.4

多項式を書き換えます。

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})$

ステップ 15.5

$a = u$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) {(u - 3)}^{2}$

ステップ 16

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) {(x - 3)}^{2}$

微分積分学準備 例

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