微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{- 4 x + 8}$

ステップ 1

式 $- \frac{x (x + 2)}{4 (x - 2)}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 2$

ステップ 2

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 3

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 2$

$m = 1$

ステップ 4

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 5.1

式を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$x$ を $- x^{2} - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.1.1

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (- x) - 2 x}{4 x - 8}$

ステップ 5.1.1.2

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x (- x) + x \cdot - 2}{4 x - 8}$

ステップ 5.1.1.3

$x$ を $x (- x) + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{x (- x - 2)}{4 x - 8}$

ステップ 5.1.2

$4$ を $4 x - 8$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.2.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{x (- x - 2)}{4 (x) - 8}$

ステップ 5.1.2.2

$4$ を $- 8$ で因数分解します。

$\frac{x (- x - 2)}{4 x + 4 \cdot - 2}$

ステップ 5.1.2.3

$4$ を $4 x + 4 \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{x (- x - 2)}{4 (x - 2)}$

ステップ 5.1.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{x (- (x) - 2)}{4 (x - 2)}$

ステップ 5.1.4

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{x (- (x) - 1 (2))}{4 (x - 2)}$

ステップ 5.1.5

$- 1$ を $- (x) - 1 (2)$ で因数分解します。

$\frac{x (- (x + 2))}{4 (x - 2)}$

ステップ 5.1.6

式を簡約します。

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ステップ 5.1.6.1

$- (x + 2)$ を $- 1 (x + 2)$ に書き換えます。

$\frac{x (- 1 (x + 2))}{4 (x - 2)}$

ステップ 5.1.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x (x + 2)}{4 (x - 2)}$

ステップ 5.2

$- x (x + 2)$ を展開します。

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ステップ 5.2.1

$x$ を否定します。

$\frac{- x (x + 2)}{4 (x - 2)}$

ステップ 5.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 2}{4 (x - 2)}$

ステップ 5.2.3

$x$ を移動させます。

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

ステップ 5.2.4

負をくくり出します。

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

ステップ 5.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

ステップ 5.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

ステップ 5.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

ステップ 5.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

ステップ 5.2.9

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- x^{2} - 2 x}{4 (x - 2)}$

ステップ 5.3

$4 (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 5.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- x^{2} - 2 x}{4 x + 4 \cdot - 2}$

ステップ 5.3.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- x^{2} - 2 x}{4 x - 8}$

ステップ 5.4

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$4 x$

$8$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

ステップ 5.5

被除数 $- x^{2}$ の最高次項を除数 $4 x$ の最高次項で割ります。

				-	$\frac{x}{4}$
	$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$

ステップ 5.6

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

ステップ 5.7

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{2} + 2 x$ の符号をすべて変更します。

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

ステップ 5.8

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$

ステップ 5.9

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$

ステップ 5.10

被除数 $- 4 x$ の最高次項を除数 $4 x$ の最高次項で割ります。

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$

ステップ 5.11

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					-	$4 x$	+	$8$

ステップ 5.12

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 x + 8$ の符号をすべて変更します。

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					+	$4 x$	-	$8$

ステップ 5.13

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					+	$4 x$	-	$8$
							-	$8$

ステップ 5.14

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$- \frac{x}{4} - 1 - \frac{8}{4 x - 8}$

ステップ 5.15

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = - \frac{x}{4} - 1$

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 2$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = - \frac{x}{4} - 1$

ステップ 7

微分積分学準備 例

微分積分学準備例