微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$

ステップ 1

関数が奇関数、偶関数、またはそのどちらでもないか判定し、対称を求めます。

1. 奇数のとき、この関数は原点に対して対称です。

2. 偶数のとき、関数はy軸に対して対称です。

ステップ 2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = x$ です。

$f (x) = \sqrt{(a + x) (a - x)}$

ステップ 3

$f (- x)$ を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x)$ 内の $x$ の出現回数をすべて $- x$ に代入して $f (- x)$ を求めます。

$f (- x) = \sqrt{(a - x) (a - (- x))}$

ステップ 3.2

括弧を削除します。

$f (- x) = \sqrt{(a - x) (a - (- x))}$

ステップ 3.3

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- x) = \sqrt{(a - x) (a + 1 x)}$

ステップ 3.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = \sqrt{(a - x) (a + x)}$

ステップ 4

$f (- x) = f (x)$ ならば関数は偶関数です。

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ステップ 4.1

$f (- x) = f (x)$ ならば確認します。

ステップ 4.2

$\sqrt{(a - x) (a + x)}$ $\neq$ $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ なので、関数は偶関数ではありません。

関数は偶関数ではありません

ステップ 5

$f (- x) = - f (x)$ ならば関数は奇関数です。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ をかけます。

$- f (x) = - \sqrt{(a + x) (a - x)}$

ステップ 5.2

$\sqrt{(a - x) (a + x)}$ $\neq$ $- \sqrt{(a + x) (a - x)}$ なので、関数は奇関数ではありません。

関数は奇関数ではありません

ステップ 6

関数は奇関数でも偶関数でもありません

ステップ 7

関数が奇数ではないので、原点に対して対称ではありません。

原点対称がありません

ステップ 8

関数が偶数ではないので、y軸に対して対称ではありません。

y軸対称がありません

ステップ 9

関数が奇数でも偶数でもないので、原点/y軸に対象ではありません。

関数が対称ではありません

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例