微分積分学準備例

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x + 7$ , $[- 3, - 1]$

ステップ 1

中間値の定理は、 $f$ が区間 $[a, b]$ 上の実数値連続関数で、 $u$ が $f (a)$ と $f (b)$ の間の数ならば、 $f (c) = u$ となるような区間 $[a, b]$ に含まれる $c$ があると述べています。

$u = f (c) = 0$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

$f (a) = f (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$ を計算します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f (- 3) = 4 \cdot - 27 + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$

ステップ 3.1.2

$4$ に $- 27$ をかけます。

$f (- 3) = - 108 + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$

ステップ 3.1.3

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f (- 3) = - 108 + 2 \cdot 9 - 6 \cdot - 3 + 7$

ステップ 3.1.4

$2$ に $9$ をかけます。

$f (- 3) = - 108 + 18 - 6 \cdot - 3 + 7$

ステップ 3.1.5

$- 6$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 3) = - 108 + 18 + 18 + 7$

ステップ 3.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 108$ と $18$ をたし算します。

$f (- 3) = - 90 + 18 + 7$

ステップ 3.2.2

$- 90$ と $18$ をたし算します。

$f (- 3) = - 72 + 7$

ステップ 3.2.3

$- 72$ と $7$ をたし算します。

$f (- 3) = - 65$

ステップ 4

$f (b) = f (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$ を計算します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- 1) = 4 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$

ステップ 4.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = - 4 + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$

ステップ 4.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = - 4 + 2 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 7$

ステップ 4.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = - 4 + 2 - 6 \cdot - 1 + 7$

ステップ 4.1.5

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = - 4 + 2 + 6 + 7$

ステップ 4.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 4$ と $2$ をたし算します。

$f (- 1) = - 2 + 6 + 7$

ステップ 4.2.2

$- 2$ と $6$ をたし算します。

$f (- 1) = 4 + 7$

ステップ 4.2.3

$4$ と $7$ をたし算します。

$f (- 1) = 11$

ステップ 5

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx - 1.83607126$

ステップ 6

中間値の定理は、 $f$ が $[- 3, - 1]$ 上で連続関数であるので、区間 $[- 65, 11]$ 上に根 $f (c) = 0$ があることを述べています。

区間 $[- 3, - 1]$ の根は $x \approx - 1.83607126$ に位置します。

ステップ 7

微分積分学準備 例

微分積分学準備例