微分積分学準備例

$f (2) = - 1$ , $f^{- 1} (9) = 4$

ステップ 1

各平面の方程式を標準形式で求めます。

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ステップ 1.1

$2$ を $f$ の左に移動させます。

$2 f = - 1, f^{- 1} (9) = 4$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 f = - 1, \frac{1}{f} \cdot 9 = 4$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{f}$ と $9$ をまとめます。

$2 f = - 1, \frac{9}{f} = 4$

ステップ 2

点 $(p, q, r)$ を通り平面 $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ に垂直な線と平面 $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ の交点を求めるために：

1. 法線ベクトルが $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ および $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ である平面 $P_{1}$ および平面 $P_{2}$ の法線ベクトルを求めます。ドット積が0か確認します。

2. $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 、 $z = r + c t$ などの媒介変数方程式の集合を作成します。

3. これらの方程式を $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ であるような平面 $P_{2}$ の方程式に代入し、 $t$ を解きます。

4. $t$ の値を利用して $t$ について、媒介変数方程式 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 、および $z = r + c t$ を解き、交点 $(x, y, z)$ を求めます。

ステップ 3

各面の法線ベクトルを求め、そのドット積を計算して垂直かどうかを判定します。

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ステップ 3.1

$P_{1}$ は $2 f = - 1$ です。式 $a x + b y + c z = d$ 平面の方程式から法線ベクトル $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ を求めます。

$n_{1} = ⟨ 0, 0, 0 ⟩$

ステップ 3.2

$P_{2}$ は $\frac{9}{f} = 4$ です。式 $e x + f y + g z = h$ 平面の方程式から法線ベクトル $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ を求めます。

$n_{2} = ⟨ 0, 0, 0 ⟩$

ステップ 3.3

$n_{1}$ と $n_{2}$ のドット積を、法線ベクトルの対応する $x$ 、 $y$ 、 $z$ の値の積を合計し計算します。

$0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

ステップ 3.4

ドット積を簡約します。

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ステップ 3.4.1

括弧を削除します。

$0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

ステップ 3.4.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$0$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

ステップ 3.4.2.2

$0$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0 \cdot 0$

ステップ 3.4.2.3

$0$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0$

ステップ 3.4.3

数を加えて簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0$

ステップ 3.4.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 4

ドット積は $0$ ですので、平面は垂直です。

交点はありません。

微分積分学準備 例

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