微分積分学準備例

$\sin (x) = \frac{2}{9}$ , $0 < x < \frac{π}{2}$

ステップ 1

方程式の両辺から $\sin (x)$ を引きます。

$0 = \frac{2}{9} - \sin (x)$

ステップ 2

中間値の定理は、 $f$ が区間 $[a, b]$ 上の実数値連続関数で、 $u$ が $f (a)$ と $f (b)$ の間の数ならば、 $f (c) = u$ となるような区間 $[a, b]$ に含まれる $c$ があると述べています。

$u = f (c) = 0$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

$f (a) = f (0) = \frac{2}{9} - \sin (0)$ を計算します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (0) = \frac{2}{9} - 0$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{2}{9} + 0$

ステップ 4.2

$\frac{2}{9}$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = \frac{2}{9}$

ステップ 5

$f (b) = f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - \sin (\frac{π}{2})$ を計算します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1$

ステップ 5.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 5.3

$- 1$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

ステップ 5.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 1 \cdot 9}{9}$

ステップ 5.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$- 1$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 9}{9}$

ステップ 5.5.2

$2$ から $9$ を引きます。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 7}{9}$

ステップ 5.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{7}{9}$

ステップ 6

Since $0$ is on the interval $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ , solve the equation for $x$ at the root.

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ステップ 6.1

方程式を $\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$ として書き換えます。

$\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $\frac{2}{9}$ を引きます。

$- \sin (x) = - \frac{2}{9}$

ステップ 6.3

$- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

ステップ 6.3.2.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin (x) = \frac{\frac{2}{9}}{1}$

ステップ 6.3.3.2

$\frac{2}{9}$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{2}{9}$

ステップ 6.4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{2}{9})$

ステップ 6.5

右辺を簡約します。

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ステップ 6.5.1

$\arcsin (\frac{2}{9})$ の値を求めます。

$x = 0.22409309$

ステップ 6.6

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

ステップ 6.7

$x$ について解きます。

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ステップ 6.7.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 - 0.22409309$

ステップ 6.7.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

ステップ 6.7.3

$3.14159265$ から $0.22409309$ を引きます。

$x = 2.91749956$

ステップ 6.8

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.8.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.8.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.9

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.22409309 + 2 π n, 2.91749956 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

中間値の定理は、 $f$ が $[0, \frac{π}{2}]$ 上で連続関数であるので、区間 $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ 上に根 $f (c) = 0$ があることを述べています。

区間 $[0, \frac{π}{2}]$ の根はに位置します。

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例