微分積分学準備例

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} - 2 x + 5)$

ステップ 1

$\frac{1}{4} \cdot (x^{2} - 2 x + 5)$ を簡約します。

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ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (- 2 x) + \frac{1}{4} \cdot 5$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- 2 x) + \frac{1}{4} \cdot 5$

ステップ 1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (- 2 x) + \frac{1}{4} \cdot 5$

ステップ 1.2.2.2

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- x)) + \frac{1}{4} \cdot 5$

ステップ 1.2.2.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- x)) + \frac{1}{4} \cdot 5$

ステップ 1.2.2.4

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (- x) + \frac{1}{4} \cdot 5$

ステップ 1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \cdot 5$

ステップ 1.2.4

$\frac{1}{4}$ と $5$ をまとめます。

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{5}{4}$

ステップ 2

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{5}{4}$ の平方完成。

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ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{4}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = \frac{5}{4}$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.3.2.2

$2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

ステップ 2.3.2.3

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

ステップ 2.3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = - \frac{1}{2} (1 \cdot 2)$

ステップ 2.3.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$d = \frac{- 1}{2} (1 \cdot 2)$

ステップ 2.3.2.5.2

$2$ を $1 \cdot 2$ で因数分解します。

$d = \frac{- 1}{2} (2 \cdot 1)$

ステップ 2.3.2.5.3

共通因数を約分します。

$d = \frac{- 1}{2} (2 \cdot 1)$

ステップ 2.3.2.5.4

式を書き換えます。

$d = - 1$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{5}{4} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$e = \frac{5}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.4.2.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{5}{4} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.4.2.1.1.3

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$e = \frac{5}{4} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.4.2.1.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$e = \frac{5}{4} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.4.2.1.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{5}{4} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.4.2.1.1.6

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{4}}$

ステップ 2.4.2.1.3

$4$ を $4$ で割ります。

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{1}$

ステップ 2.4.2.1.4

$\frac{1}{4}$ を $1$ で割ります。

$e = \frac{5}{4} - \frac{1}{4}$

ステップ 2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{5 - 1}{4}$

ステップ 2.4.2.3

$5$ から $1$ を引きます。

$e = \frac{4}{4}$

ステップ 2.4.2.4

$4$ を $4$ で割ります。

$e = 1$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + 1$ に代入します。

$\frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + 1$

ステップ 3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x - 1)}^{2} + 1$

微分積分学準備 例

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