微分積分学準備例

$\frac{\ln (30) - \ln (3)}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

ステップ 1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\ln (\frac{30}{3})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

$30$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1

$3$ を $30$ で因数分解します。

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

ステップ 2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3 (1)})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

ステップ 2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 1})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

ステップ 2.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln (\frac{10}{1})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

ステップ 2.1.2.4

$10$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (10)}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

ステップ 2.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{\ln (10)}{\ln (100) - 0} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

ステップ 2.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{\ln (10)}{\ln (100) + 0} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

ステップ 2.2.3

$\ln (100)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 3

$\ln (9)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ を掛けます。

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \frac{\ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} - \frac{1}{2} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} - \frac{1}{2} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 5

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 6

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ を掛けます。

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\ln (100) \cdot 2$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.1

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{\ln (100) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 7.2

$\ln (100)$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{2 \cdot \ln (100)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 7.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \cdot \ln (100)$ を簡約します。

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{\ln (100^{2})} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 7.4

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ をかけます。

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{\ln (100^{2})} - \frac{\ln (100)}{2 \ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 7.5

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (100)$ を簡約します。

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{\ln (100^{2})} - \frac{\ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2 - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 9

各項を簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\ln (10) \cdot 2 + \ln (9) \ln (100) \cdot 2 - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 9.1.2

$\ln (10) \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 9.1.2.1

$\ln (10)$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{2 \cdot \ln (10) + \ln (9) \ln (100) \cdot 2 - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 9.1.2.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \cdot \ln (10)$ を簡約します。

$\frac{\ln (10^{2}) + \ln (9) \ln (100) \cdot 2 - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 9.1.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (9)$ を簡約します。

$\frac{\ln (10^{2}) + \ln (9^{2}) \ln (100) - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 9.1.4

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.4.1

$10$ を $2$ 乗します。

$\frac{\ln (100) + \ln (9^{2}) \ln (100) - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 9.1.4.2

$9$ を $2$ 乗します。

$\frac{\ln (100) + \ln (81) \ln (100) - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 9.1.5

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\ln (81) \ln (100) + \ln (\frac{100}{100})}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 9.1.6

因数分解した形で $\ln (81) \ln (100) + \ln (\frac{100}{100})$ を書き換えます。

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ステップ 9.1.6.1

$100$ を $100$ で割ります。

$\frac{\ln (81) \ln (100) + \ln (1)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 9.1.6.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{\ln (81) \ln (100) + 0}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 9.1.6.3

$\ln (81) \ln (100)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\ln (81) \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 9.2

$100$ を $2$ 乗します。

$\frac{\ln (81) \ln (100)}{\ln (10000)} - \ln (10) \log (9)$

ステップ 10

$- \ln (10) \log (9)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\ln (10000)}{\ln (10000)}$ を掛けます。

$\frac{\ln (81) \ln (100)}{\ln (10000)} - \ln (10) \log (9) \cdot \frac{\ln (10000)}{\ln (10000)}$

ステップ 11

$- \ln (10) \log (9)$ と $\frac{\ln (10000)}{\ln (10000)}$ をまとめます。

$\frac{\ln (81) \ln (100)}{\ln (10000)} + \frac{- \ln (10) \log (9) \ln (10000)}{\ln (10000)}$

ステップ 12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (81) \ln (100) - \ln (10) \log (9) \ln (10000)}{\ln (10000)}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\ln (81) \ln (100) - \ln (10) \log (9) \ln (10000)}{\ln (10000)}$

10進法形式：

$0$

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