微分積分学準備例

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 24 x - 32 y + 75 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $75$ を引きます。

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 24 x - 32 y = - 75$

ステップ 2

方程式の両辺を $4$ で割ります。

$x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = - \frac{75}{4}$

ステップ 3

$x^{2} + 6 x$ の平方完成。

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ステップ 3.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 6$

$c = 0$

ステップ 3.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 3.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

ステップ 3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{3}{1}$

ステップ 3.3.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$d = 3$

ステップ 3.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{36}{4}$

ステップ 3.4.2.1.3

$36$ を $4$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 9$

ステップ 3.4.2.1.4

$- 1$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - 9$

ステップ 3.4.2.2

$0$ から $9$ を引きます。

$e = - 9$

ステップ 3.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + 3)}^{2} - 9$ に代入します。

${(x + 3)}^{2} - 9$

ステップ 4

${(x + 3)}^{2} - 9$ を方程式 $x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = - \frac{75}{4}$ の中の $x^{2} + 6 x$ に代入します。

${(x + 3)}^{2} - 9 + y^{2} - 8 y = - \frac{75}{4}$

ステップ 5

両辺に $9$ を加えて、 $- 9$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + 3)}^{2} + y^{2} - 8 y = - \frac{75}{4} + 9$

ステップ 6

$y^{2} - 8 y$ の平方完成。

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ステップ 6.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

ステップ 6.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 6.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 6.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

ステップ 6.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 4}{1}$

ステップ 6.3.2.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$d = - 4$

ステップ 6.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 6.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{64}{4}$

ステップ 6.4.2.1.3

$64$ を $4$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 16$

ステップ 6.4.2.1.4

$- 1$ に $16$ をかけます。

$e = 0 - 16$

ステップ 6.4.2.2

$0$ から $16$ を引きます。

$e = - 16$

ステップ 6.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y - 4)}^{2} - 16$ に代入します。

${(y - 4)}^{2} - 16$

ステップ 7

${(y - 4)}^{2} - 16$ を方程式 $x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = - \frac{75}{4}$ の中の $y^{2} - 8 y$ に代入します。

${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = - \frac{75}{4} + 9$

ステップ 8

両辺に $16$ を加えて、 $- 16$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = - \frac{75}{4} + 9 + 16$

ステップ 9

$- \frac{75}{4} + 9 + 16$ を簡約します。

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ステップ 9.1

公分母を求めます。

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ステップ 9.1.1

$9$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = - \frac{75}{4} + \frac{9}{1} + 16$

ステップ 9.1.2

$\frac{9}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = - \frac{75}{4} + \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4} + 16$

ステップ 9.1.3

$\frac{9}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = - \frac{75}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4} + 16$

ステップ 9.1.4

$16$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = - \frac{75}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{16}{1}$

ステップ 9.1.5

$\frac{16}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = - \frac{75}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 9.1.6

$\frac{16}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = - \frac{75}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

ステップ 9.2

公分母の分子をまとめます。

${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{- 75 + 9 \cdot 4 + 16 \cdot 4}{4}$

ステップ 9.3

各項を簡約します。

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ステップ 9.3.1

$9$ に $4$ をかけます。

${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{- 75 + 36 + 16 \cdot 4}{4}$

ステップ 9.3.2

$16$ に $4$ をかけます。

${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{- 75 + 36 + 64}{4}$

ステップ 9.4

数を加えて簡約します。

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ステップ 9.4.1

$- 75$ と $36$ をたし算します。

${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{- 39 + 64}{4}$

ステップ 9.4.2

$- 39$ と $64$ をたし算します。

${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{25}{4}$

ステップ 10

円の形です。この形を利用して円の中心と半径を決定します。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

ステップ 11

この円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $r$ は円の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$r = \frac{5}{2}$

$h = - 3$

$k = 4$

ステップ 12

円の中心は $(h, k)$ で求められます。

中心： $(- 3, 4)$

ステップ 13

これらの値は円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- 3, 4)$

半径： $\frac{5}{2}$

ステップ 14

微分積分学準備 例

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