微分積分学準備例

$x^{2} + 6 x + 36 - 144 y + 117 = 0$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $y$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

$36$ と $117$ をたし算します。

$x^{2} + 6 x - 144 y + 153 = 0$

ステップ 1.1.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$6 x - 144 y + 153 = - x^{2}$

ステップ 1.1.2.2

方程式の両辺から $6 x$ を引きます。

$- 144 y + 153 = - x^{2} - 6 x$

ステップ 1.1.2.3

方程式の両辺から $153$ を引きます。

$- 144 y = - x^{2} - 6 x - 153$

ステップ 1.1.3

$- 144 y = - x^{2} - 6 x - 153$ の各項を $- 144$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 144 y = - x^{2} - 6 x - 153$ の各項を $- 144$ で割ります。

$\frac{- 144 y}{- 144} = \frac{- x^{2}}{- 144} + \frac{- 6 x}{- 144} + \frac{- 153}{- 144}$

ステップ 1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1

$- 144$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 144 y}{- 144} = \frac{- x^{2}}{- 144} + \frac{- 6 x}{- 144} + \frac{- 153}{- 144}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- x^{2}}{- 144} + \frac{- 6 x}{- 144} + \frac{- 153}{- 144}$

ステップ 1.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y = \frac{x^{2}}{144} + \frac{- 6 x}{- 144} + \frac{- 153}{- 144}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 6$ と $- 144$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.2.1

$- 6$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{144} + \frac{- 6 (x)}{- 144} + \frac{- 153}{- 144}$

ステップ 1.1.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.2.2.1

$- 6$ を $- 144$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{144} + \frac{- 6 (x)}{- 6 (24)} + \frac{- 153}{- 144}$

ステップ 1.1.3.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2}}{144} + \frac{- 6 x}{- 6 \cdot 24} + \frac{- 153}{- 144}$

ステップ 1.1.3.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{2}}{144} + \frac{x}{24} + \frac{- 153}{- 144}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

$- 153$ と $- 144$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.3.1

$- 9$ を $- 153$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{144} + \frac{x}{24} + \frac{- 9 (17)}{- 144}$

ステップ 1.1.3.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.3.2.1

$- 9$ を $- 144$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{144} + \frac{x}{24} + \frac{- 9 \cdot 17}{- 9 \cdot 16}$

ステップ 1.1.3.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2}}{144} + \frac{x}{24} + \frac{- 9 \cdot 17}{- 9 \cdot 16}$

ステップ 1.1.3.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{2}}{144} + \frac{x}{24} + \frac{17}{16}$

ステップ 1.2

$\frac{x^{2}}{144} + \frac{x}{24} + \frac{17}{16}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{144}$

$b = \frac{1}{24}$

$c = \frac{17}{16}$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{1}{24}}{2 (\frac{1}{144})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{1}{24} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{144})}$

ステップ 1.2.3.2.2

$2$ と $\frac{1}{144}$ をまとめます。

$d = \frac{1}{24} \cdot \frac{1}{\frac{2}{144}}$

ステップ 1.2.3.2.3

$2$ と $144$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$d = \frac{1}{24} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{144}}$

ステップ 1.2.3.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.3.2.1

$2$ を $144$ で因数分解します。

$d = \frac{1}{24} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 72}}$

ステップ 1.2.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{1}{24} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 72}}$

ステップ 1.2.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{24} \cdot \frac{1}{\frac{1}{72}}$

ステップ 1.2.3.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{1}{24} (1 \cdot 72)$

ステップ 1.2.3.2.5

$72$ に $1$ をかけます。

$d = \frac{1}{24} \cdot 72$

ステップ 1.2.3.2.6

$24$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.6.1

$24$ を $72$ で因数分解します。

$d = \frac{1}{24} \cdot (24 (3))$

ステップ 1.2.3.2.6.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{1}{24} \cdot (24 \cdot 3)$

ステップ 1.2.3.2.6.3

式を書き換えます。

$d = 3$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{17}{16} - \frac{{(\frac{1}{24})}^{2}}{4 (\frac{1}{144})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1.1

積の法則を $\frac{1}{24}$ に当てはめます。

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1^{2}}{24^{2}}}{4 (\frac{1}{144})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{24^{2}}}{4 (\frac{1}{144})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.3

$24$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{576}}{4 (\frac{1}{144})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{144}$ をまとめます。

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{576}}{\frac{4}{144}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$4$ と $144$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.3.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{576}}{\frac{4 (1)}{144}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.3.2.1

$4$ を $144$ で因数分解します。

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{576}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 36}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{576}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 36}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{576}}{\frac{1}{36}}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = \frac{17}{16} - (\frac{1}{576} \cdot 36)$

ステップ 1.2.4.2.1.5

$36$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.5.1

$36$ を $576$ で因数分解します。

$e = \frac{17}{16} - (\frac{1}{36 (16)} \cdot 36)$

ステップ 1.2.4.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{17}{16} - (\frac{1}{36 \cdot 16} \cdot 36)$

ステップ 1.2.4.2.1.5.3

式を書き換えます。

$e = \frac{17}{16} - \frac{1}{16}$

ステップ 1.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{17 - 1}{16}$

ステップ 1.2.4.2.3

$17$ から $1$ を引きます。

$e = \frac{16}{16}$

ステップ 1.2.4.2.4

$16$ を $16$ で割ります。

$e = 1$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{144} {(x + 3)}^{2} + 1$ に代入します。

$\frac{1}{144} {(x + 3)}^{2} + 1$

ステップ 1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = \frac{1}{144} \cdot {(x + 3)}^{2} + 1$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{144}$

$h = - 3$

$k = 1$

ステップ 3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 3, 1)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{144}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ と $\frac{1}{144}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{144}}$

ステップ 5.3.2

$4$ と $144$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{144}}$

ステップ 5.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$4$ を $144$ で因数分解します。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 36}}$

ステップ 5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 36}}$

ステップ 5.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{36}}$

ステップ 5.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \cdot 36$

ステップ 5.3.4

$36$ に $1$ をかけます。

$36$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 3, 37)$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - 3$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - 35$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- 3, 1)$

焦点： $(- 3, 37)$

対称軸： $x = - 3$

準線： $y = - 35$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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