微分積分学準備例

$2 x + y^{2} + 8 y + 8 = 0$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $x$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$2 x + 8 y + 8 = - y^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺から $8 y$ を引きます。

$2 x + 8 = - y^{2} - 8 y$

ステップ 1.1.1.3

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$2 x = - y^{2} - 8 y - 8$

ステップ 1.1.2

$2 x = - y^{2} - 8 y - 8$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$2 x = - y^{2} - 8 y - 8$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y^{2}}{2} + \frac{- 8 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y^{2}}{2} + \frac{- 8 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- y^{2}}{2} + \frac{- 8 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 8 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.1.2.1

$2$ を $- 8 y$ で因数分解します。

$x = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 4 y)}{2} + \frac{- 8}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 4 y)}{2 (1)} + \frac{- 8}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$x = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 4 y)}{2 \cdot 1} + \frac{- 8}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$x = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 4 y}{1} + \frac{- 8}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.4

$- 4 y$ を $1$ で割ります。

$x = - \frac{y^{2}}{2} - 4 y + \frac{- 8}{2}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 8$ を $2$ で割ります。

$x = - \frac{y^{2}}{2} - 4 y - 4$

ステップ 1.2

$- \frac{y^{2}}{2} - 4 y - 4$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 4$

$c = - 4$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 4}{2 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.3.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = - 2 (- 1 \cdot 2)$

ステップ 1.2.3.2.3

$- 2 (- 1 \cdot 2)$ を掛けます。

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ステップ 1.2.3.2.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$d = - 2 \cdot - 2$

ステップ 1.2.3.2.3.2

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$d = 4$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 4 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

${(- 4)}^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$e = - 4 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.2

積の法則を $- 1 (4)$ に当てはめます。

$e = - 4 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = - 4 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.4

$4^{2}$ に $1$ をかけます。

$e = - 4 - \frac{4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.5

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = - 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1.6.1

共通因数を約分します。

$e = - 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.6.2

式を書き換えます。

$e = - 4 - \frac{4}{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = - 4 - (4 (- 1 \cdot 2))$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$- (4 (- 1 \cdot 2))$ を掛けます。

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ステップ 1.2.4.2.1.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$e = - 4 - (4 \cdot - 2)$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$e = - 4 - - 8$

ステップ 1.2.4.2.1.3.3

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$e = - 4 + 8$

ステップ 1.2.4.2.2

$- 4$ と $8$ をたし算します。

$e = 4$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- \frac{1}{2} {(y + 4)}^{2} + 4$ に代入します。

$- \frac{1}{2} {(y + 4)}^{2} + 4$

ステップ 1.3

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = - \frac{1}{2} \cdot {(y + 4)}^{2} + 4$

ステップ 2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = - 4$

ステップ 3

$a$ の値が負なので、放物線は左に開です。

左に開

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(4, - 4)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

ステップ 5.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 5.3.2

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

ステップ 5.3.3

$4$ を $2$ で割ります。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{7}{2}, - 4)$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = - 4$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = \frac{9}{2}$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：左に開

頂点： $(4, - 4)$

焦点： $(\frac{7}{2}, - 4)$

対称軸： $y = - 4$

準線： $x = \frac{9}{2}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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