微分積分学準備例

$lim_{n \to 8} \frac{n!}{n^{n}}$

ステップ 1

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} n^{n}}$

ステップ 2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 2.1

$n^{n}$ を $e^{\ln (n^{n})}$ に書き換えます。

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{\ln (n^{n})}}$

ステップ 2.2

$n$ を対数の外に移動させて、 $\ln (n^{n})$ を展開します。

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (n)}}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

指数に極限を移動させます。

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (n)}}$

ステップ 3.2

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

ステップ 3.3

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

ステップ 4

すべての $n$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$n$ を $8$ に代入し、 $n!$ の極限値を求めます。

$\frac{8!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

ステップ 4.2

$8!$ を $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ に展開します。

$\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

ステップ 4.3

$8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1

$8$ に $7$ をかけます。

$\frac{56 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

ステップ 4.3.2

$56$ に $6$ をかけます。

$\frac{336 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

ステップ 4.3.3

$336$ に $5$ をかけます。

$\frac{1680 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

ステップ 4.3.4

$1680$ に $4$ をかけます。

$\frac{6720 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

ステップ 4.3.5

$6720$ に $3$ をかけます。

$\frac{20160 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

ステップ 4.3.6

$20160$ に $2$ をかけます。

$\frac{40320 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

ステップ 4.3.7

$40320$ に $1$ をかけます。

$\frac{40320}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

ステップ 4.4

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

ステップ 4.5

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

分母を簡約します。

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ステップ 5.1.1

対数の中の $8$ を移動させて $8 \cdot \ln (8)$ を簡約します。

$\frac{40320}{e^{\ln (8^{8})}}$

ステップ 5.1.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{40320}{8^{8}}$

ステップ 5.1.3

$8$ を $8$ 乗します。

$\frac{40320}{16777216}$

ステップ 5.2

$40320$ と $16777216$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$128$ を $40320$ で因数分解します。

$\frac{128 (315)}{16777216}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$128$ を $16777216$ で因数分解します。

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{315}{131072}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{315}{131072}$

10進法形式：

$0.00240325 \dots$

微分積分学準備 例

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