微分積分学準備例

$\sum_{i = 0}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$

ステップ 1

総和を分割し、 $i$ の始めの値が $1$ に等しくなるようにします。

$\sum_{k = 0}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} = \sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} + \sum_{k = 0}^{0} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$

ステップ 2

$\sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} = \sum_{k = 1}^{8} 256 + \sum_{k = 1}^{8} {(\frac{3}{2})}^{i}$

ステップ 2.2

$\sum_{k = 1}^{8} 256$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 2.2.2

値を公式に代入します。

$(256) (8)$

ステップ 2.2.3

$256$ に $8$ をかけます。

$2048$

ステップ 2.3

$\sum_{k = 1}^{8} {(\frac{3}{2})}^{i}$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2.3.2

公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.3.2.1

$a_{k}$ と $a_{k + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i + 1}}{{(\frac{3}{2})}^{i}}$

ステップ 2.3.2.2

${(\frac{3}{2})}^{i + 1}$ と ${(\frac{3}{2})}^{i}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1

${(\frac{3}{2})}^{i}$ を ${(\frac{3}{2})}^{i + 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i}}$

ステップ 2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i} \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i} \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{\frac{3}{2}}{1}$

ステップ 2.3.2.2.2.4

$\frac{3}{2}$ を $1$ で割ります。

$r = \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 2.3.3.1

$i$ の $1$ を ${(\frac{3}{2})}^{i}$ に代入します。

$a = {(\frac{3}{2})}^{1}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

$a = \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{2} (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}})$

ステップ 2.3.5.1.2

まとめる。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 (1 - {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 (1 - \frac{3}{2})}$

ステップ 2.3.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{3}{2})}$

ステップ 2.3.5.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.3.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 3}{2})}$

ステップ 2.3.5.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 3}{2})}$

ステップ 2.3.5.3.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 2.3.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.4.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 2.3.5.4.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 (- \frac{3^{8}}{2^{8}})}{2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 2.3.5.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.4.3.1

$- \frac{3^{8}}{2^{8}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2^{8}}}{2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 2.3.5.4.3.2

$2$ を $2^{8}$ で因数分解します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2 \cdot 2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 2.3.5.4.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2 \cdot 2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 2.3.5.4.3.4

式を書き換えます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 3^{8}}{2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 2.3.5.4.4

$3$ を $8$ 乗します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 6561}{2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 2.3.5.4.5

$2$ を $7$ 乗します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 2.3.5.4.6

$- 1$ に $6561$ をかけます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 2.3.5.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 2.3.5.4.8

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{128}{128}$ を掛けます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot \frac{128}{128} - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 2.3.5.4.9

$2$ と $\frac{128}{128}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 128}{128} - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 2.3.5.4.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 128 - 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 2.3.5.4.11

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.5.4.11.1

$2$ に $128$ をかけます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{256 - 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 2.3.5.4.11.2

$256$ から $6561$ を引きます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{- 6305}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 2.3.5.4.12

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 2.3.5.5

分母を簡約します。

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ステップ 2.3.5.5.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{2 - 3}$

ステップ 2.3.5.5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{- 1}$

ステップ 2.3.5.6

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{6305}{128}}{1}$

ステップ 2.3.5.7

$\frac{6305}{128}$ を $1$ で割ります。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{6305}{128}$

ステップ 2.3.5.8

$\frac{3}{2} \cdot \frac{6305}{128}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.5.8.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{6305}{128}$ をかけます。

$\frac{3 \cdot 6305}{2 \cdot 128}$

ステップ 2.3.5.8.2

$3$ に $6305$ をかけます。

$\frac{18915}{2 \cdot 128}$

ステップ 2.3.5.8.3

$2$ に $128$ をかけます。

$\frac{18915}{256}$

ステップ 2.4

合計した結果をたします。

$2048 + \frac{18915}{256}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$2048$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{256}{256}$ を掛けます。

$2048 \cdot \frac{256}{256} + \frac{18915}{256}$

ステップ 2.5.2

$2048$ と $\frac{256}{256}$ をまとめます。

$\frac{2048 \cdot 256}{256} + \frac{18915}{256}$

ステップ 2.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2048 \cdot 256 + 18915}{256}$

ステップ 2.5.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

$2048$ に $256$ をかけます。

$\frac{524288 + 18915}{256}$

ステップ 2.5.4.2

$524288$ と $18915$ をたし算します。

$\frac{543203}{256}$

ステップ 3

$\sum_{k = 0}^{0} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$i$ の各値の級数を展開します。

$256 + {(\frac{3}{2})}^{0}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$256 + \frac{3^{0}}{2^{0}}$

ステップ 3.2.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$256 + \frac{1}{2^{0}}$

ステップ 3.2.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$256 + \frac{1}{1}$

ステップ 3.2.1.4

$1$ を $1$ で割ります。

$256 + 1$

ステップ 3.2.2

$256$ と $1$ をたし算します。

$257$

ステップ 4

総和を求めた値で置換します。

$\frac{543203}{256} + 257$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$257$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{256}{256}$ を掛けます。

$\frac{543203}{256} + 257 \cdot \frac{256}{256}$

ステップ 5.2

$257$ と $\frac{256}{256}$ をまとめます。

$\frac{543203}{256} + \frac{257 \cdot 256}{256}$

ステップ 5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{543203 + 257 \cdot 256}{256}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$257$ に $256$ をかけます。

$\frac{543203 + 65792}{256}$

ステップ 5.4.2

$543203$ と $65792$ をたし算します。

$\frac{608995}{256}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{608995}{256}$

10進法形式：

$2378.88671875$

帯分数形：

$2378 \frac{227}{256}$

微分積分学準備 例

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