微分積分学準備例

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{h}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{{(x + h)}^{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{h}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${(x + h)}^{3} x^{3}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{{(x + h)}^{3}}$ に $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ に $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} + \frac{{(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.3.3

${(x + h)}^{3} x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{x^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}} + \frac{{(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{3} + {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5

因数分解した形で $\frac{x^{3} + {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$ を書き換えます。

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ステップ 1.5.1

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = x + h$ です。

$\frac{\frac{(x + x + h) (x^{2} - x (x + h) + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5.2

簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x (x + h) + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x \cdot x - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5.2.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.5.2.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - (x \cdot x) - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5.2.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5.2.4

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + (x + h) (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5.2.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

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ステップ 1.5.2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x (x + h) + h (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5.2.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x \cdot x + x h + h (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5.2.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5.2.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.5.2.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.2.6.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + x h + h x + h \cdot h)}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5.2.6.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + x h + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5.2.6.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

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ステップ 1.5.2.6.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + h x + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5.2.6.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5.2.7

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{\frac{(2 x + h) (0 - x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5.2.8

$0$ から $x h$ を引きます。

$\frac{\frac{(2 x + h) (- x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5.2.9

$- x h$ と $2 h x$ をたし算します。

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ステップ 1.5.2.9.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - 1 h x + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5.2.9.2

$- 1 h x$ と $2 h x$ をたし算します。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} + 1 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.5.2.10

$h$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 3

まとめる。

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2}) \cdot 1}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$2 x + h$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$

ステップ 4.2

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} h {(x + h)}^{3}}$

微分積分学準備 例

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