微分積分学準備例

$\sqrt{{(1 - t^{2})}^{2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 1

${(1 - t^{2})}^{2}$ を $(1 - t^{2}) (1 - t^{2})$ に書き換えます。

$\sqrt{(1 - t^{2}) (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - t^{2}) (1 - t^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt{1 (1 - t^{2}) - t^{2} (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.2

$- t^{2}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{2} t^{2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.5

指数を足して $t^{2}$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1

$t^{2}$ を移動させます。

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 (t^{2} t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{2 + 2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.5.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} + 1 t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.7

$t^{4}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} + t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

$- t^{2}$ から $t^{2}$ を引きます。

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

積の法則を $2 t$ に当てはめます。

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 2^{2} t^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 4.3

${(1 + t^{2})}^{2}$ を $(1 + t^{2}) (1 + t^{2})$ に書き換えます。

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + (1 + t^{2}) (1 + t^{2})}$

ステップ 5

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + t^{2}) (1 + t^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 (1 + t^{2}) + t^{2} (1 + t^{2})}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 \cdot 1 + 1 t^{2} + t^{2} (1 + t^{2})}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 \cdot 1 + 1 t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

ステップ 6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + 1 t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

ステップ 6.1.2

$t^{2}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

ステップ 6.1.3

$t^{2}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{2} t^{2}}$

ステップ 6.1.4

指数を足して $t^{2}$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{2 + 2}}$

ステップ 6.1.4.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{4}}$

ステップ 6.2

$t^{2}$ と $t^{2}$ をたし算します。

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + 2 t^{2} + t^{4}}$

ステップ 7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{- 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 2 + 2 t^{2} + t^{4}}$

ステップ 8

$- 2 t^{2}$ と $4 t^{2}$ をたし算します。

$\sqrt{t^{4} + 2 t^{2} + 2 + 2 t^{2} + t^{4}}$

ステップ 9

$t^{4}$ と $t^{4}$ をたし算します。

$\sqrt{2 t^{4} + 2 t^{2} + 2 + 2 t^{2}}$

ステップ 10

$2 t^{2}$ と $2 t^{2}$ をたし算します。

$\sqrt{2 t^{4} + 4 t^{2} + 2}$

ステップ 11

因数分解した形で $2 t^{4} + 4 t^{2} + 2$ を書き換えます。

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ステップ 11.1

$2$ を $2 t^{4} + 4 t^{2} + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$2$ を $2 t^{4}$ で因数分解します。

$\sqrt{2 (t^{4}) + 4 t^{2} + 2}$

ステップ 11.1.2

$2$ を $4 t^{2}$ で因数分解します。

$\sqrt{2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2}) + 2}$

ステップ 11.1.3

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\sqrt{2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2}) + 2 (1)}$

ステップ 11.1.4

$2$ を $2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2})$ で因数分解します。

$\sqrt{2 (t^{4} + 2 t^{2}) + 2 (1)}$

ステップ 11.1.5

$2$ を $2 (t^{4} + 2 t^{2}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\sqrt{2 (t^{4} + 2 t^{2} + 1)}$

ステップ 11.2

$t^{4}$ を ${(t^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2 ({(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} + 1)}$

ステップ 11.3

$u = t^{2}$ とします。 $u$ を $t^{2}$ に代入します。

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 u + 1)}$

ステップ 11.4

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 u + 1^{2})}$

ステップ 11.4.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

ステップ 11.4.3

多項式を書き換えます。

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 11.4.4

$a = u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\sqrt{2 {(u + 1)}^{2}}$

ステップ 11.5

$u$ のすべての発生を $t^{2}$ で置き換えます。

$\sqrt{2 {(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 12

$2 {(t^{2} + 1)}^{2}$ を ${(t^{2} + 1^{2})}^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 12.1

$2$ と ${(t^{2} + 1)}^{2}$ を並べ替えます。

$\sqrt{{(t^{2} + 1)}^{2} \cdot 2}$

ステップ 12.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(t^{2} + 1^{2})}^{2} \cdot 2}$

ステップ 13

累乗根の下から項を取り出します。

$(t^{2} + 1^{2}) \sqrt{2}$

ステップ 14

1のすべての数の累乗は1です。

$(t^{2} + 1) \sqrt{2}$

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