微分積分学準備例

$\sec (x) \tan (x) - \cos (x) \cot (x) = \sin (x)$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \cos (x) \cot (x) = \sin (x)$

ステップ 1.1.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \cot (x) = \sin (x)$

ステップ 1.1.3

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \cos (x) \cot (x) = \sin (x)$

ステップ 1.1.3.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} - \cos (x) \cot (x) = \sin (x)$

ステップ 1.1.3.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} - \cos (x) \cot (x) = \sin (x)$

ステップ 1.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \cos (x) \cot (x) = \sin (x)$

ステップ 1.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \cos (x) \cot (x) = \sin (x)$

ステップ 1.1.4

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x)$

ステップ 1.1.5

$- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.5.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x)$

ステップ 1.1.5.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x)$

ステップ 1.1.5.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} = \sin (x)$

ステップ 1.1.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \sin (x)$

ステップ 1.1.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x)$

ステップ 2

方程式の両辺に $\sin (x)$ を掛けます。

$\sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sin (x)$

ステップ 3

分配則を当てはめます。

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sin (x)$

ステップ 4

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$\sin (x)$ と $\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sin (x)$

ステップ 4.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sin (x)$

ステップ 4.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sin (x)$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sin (x)$

ステップ 4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sin (x)$

ステップ 5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sin (x)$

ステップ 6

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$\sin (x)$ を $- \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sin (x)$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sin (x)$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x) = \sin (x) \sin (x)$

ステップ 7

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x) = \sin^{1} (x) \sin (x)$

ステップ 7.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x) = \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)$

ステップ 7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x) = {\sin (x)}^{1 + 1}$

ステップ 7.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

ステップ 8

方程式の両辺から $\sin^{2} (x)$ を引きます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 9

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ を $- \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 9.2

$- 1$ を $- \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 9.3

$- 1$ を $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 9.4

項を並べ替えます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 9.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 9.6

各項を簡約します。

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ステップ 9.6.1

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を $\tan^{2} (x)$ に変換します。

$\tan^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 9.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\tan^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 10

$x$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\tan^{2} (x) = 1$

ステップ 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{1}$

ステップ 10.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\tan (x) = \pm 1$

ステップ 10.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 10.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\tan (x) = 1$

ステップ 10.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\tan (x) = - 1$

ステップ 10.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\tan (x) = 1, - 1$

ステップ 10.5

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = - 1$

ステップ 10.6

$\tan (x) = 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 10.6.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (1)$

ステップ 10.6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 10.6.2.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 10.6.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 10.6.4

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 10.6.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 10.6.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 10.6.4.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 10.6.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 10.6.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 10.6.4.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 10.6.4.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 10.6.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 10.6.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 10.6.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 10.6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 10.6.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 10.6.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10.7

$\tan (x) = - 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 10.7.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 1)$

ステップ 10.7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 10.7.2.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 10.7.3

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 10.7.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 10.7.4.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 10.7.4.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 10.7.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 10.7.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 10.7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 10.7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 10.7.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 10.7.6

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 10.7.6.1

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

ステップ 10.7.6.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 10.7.6.3

分数をまとめます。

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ステップ 10.7.6.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 10.7.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 10.7.6.4

分子を簡約します。

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ステップ 10.7.6.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 10.7.6.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 10.7.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 10.7.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10.8

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10.9

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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