微分積分学準備例

$3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

ステップ 2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54)$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \log_{x} (3)$ を簡約します。

$\log_{x} (3^{3}) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

ステップ 2.1.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$\log_{x} (27) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

ステップ 2.1.1.3

対数の中の $4$ を移動させて $4 \log_{x} (2)$ を簡約します。

$\log_{x} (27) + \log_{x} (2^{4}) - \log_{x} (54) = 3$

ステップ 2.1.1.4

$2$ を $4$ 乗します。

$\log_{x} (27) + \log_{x} (16) - \log_{x} (54) = 3$

ステップ 2.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{x} (27 \cdot 16) - \log_{x} (54) = 3$

ステップ 2.1.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{54}) = 3$

ステップ 2.1.4

$27$ と $54$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1

$27$ を $27 \cdot 16$ で因数分解します。

$\log_{x} (\frac{27 (16)}{54}) = 3$

ステップ 2.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.2.1

$27$ を $54$ で因数分解します。

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{27 \cdot 2}) = 3$

ステップ 2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{27 \cdot 2}) = 3$

ステップ 2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\log_{x} (\frac{16}{2}) = 3$

ステップ 2.1.5

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.5.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2}) = 3$

ステップ 2.1.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) = 3$

ステップ 2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) = 3$

ステップ 2.1.5.2.3

式を書き換えます。

$\log_{x} (\frac{8}{1}) = 3$

ステップ 2.1.5.2.4

$8$ を $1$ で割ります。

$\log_{x} (8) = 3$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\log_{x} (8) = 3$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$x^{3} = 8$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x^{3} - 8 = 0$

ステップ 4.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} - 2^{3} = 0$

ステップ 4.2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 4.2.3

簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

ステップ 4.2.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

ステップ 4.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

ステップ 4.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4.5

$x^{2} + 2 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.5.1

$x^{2} + 2 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

ステップ 4.5.2

$x$ について $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.3

簡約します。

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ステップ 4.5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 4.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.3.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.3.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.3.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 4.5.2.3.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.5.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 4.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 4.6

最終解は $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

微分積分学準備 例

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