微分積分学準備例

$\frac{a}{a^{2} - b^{2}} \cdot \frac{a - b - 2 b \frac{a - b}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = b$ です。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b - 2 b \frac{a - b}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 2 b \frac{a - b}{a + b}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$- 2$ と $\frac{a - b}{a + b}$ をまとめます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b + b \frac{- 2 (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.1.2

$b$ と $\frac{- 2 (a - b)}{a + b}$ をまとめます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b + \frac{b (- 2 (a - b))}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b + \frac{b \cdot - 2 (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.3

$- 2$ を $b$ の左に移動させます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b + \frac{- 2 \cdot b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b - \frac{2 \cdot b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.5

$a$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a + b}{a + b}$ を掛けます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{- b + \frac{a (a + b)}{a + b} - \frac{2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{- b + \frac{a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.7

$- b$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a + b}{a + b}$ を掛けます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{- b \cdot \frac{a + b}{a + b} + \frac{a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.8

$- b$ と $\frac{a + b}{a + b}$ をまとめます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b (a + b)}{a + b} + \frac{a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b (a + b) + a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.10

因数分解した形で $\frac{- b (a + b) + a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}$ を書き換えます。

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ステップ 2.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b \cdot b + a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.10.2

指数を足して $b$ に $b$ を掛けます。

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ステップ 2.10.2.1

$b$ を移動させます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - (b \cdot b) + a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.10.2.2

$b$ に $b$ をかけます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.10.3

分配則を当てはめます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a \cdot a + a b - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.10.4

$a$ に $a$ をかけます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.10.5

分配則を当てはめます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b a - 2 b (- b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.10.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b a - 2 \cdot - 1 b \cdot b}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.10.7

各項を簡約します。

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ステップ 2.10.7.1

指数を足して $b$ に $b$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.7.1.1

$b$ を移動させます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b a - 2 \cdot - 1 (b \cdot b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.10.7.1.2

$b$ に $b$ をかけます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b a - 2 \cdot - 1 b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.10.7.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b a + 2 b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.10.8

$- b a$ と $a b$ をたし算します。

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ステップ 2.10.8.1

$b$ を移動させます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b^{2} + a^{2} - a b + a b - 2 b a + 2 b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.10.8.2

$- a b$ と $a b$ をたし算します。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b^{2} + a^{2} + 0 - 2 b a + 2 b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.10.9

$- b^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{a^{2} - b^{2} - 2 b a + 2 b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.10.10

$- b^{2}$ と $2 b^{2}$ をたし算します。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{a^{2} + b^{2} - 2 b a}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.10.11

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.10.11.1

項を並べ替えます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{a^{2} - 2 b a + b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.10.11.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 b a = 2 \cdot a \cdot b$

ステップ 2.10.11.3

多項式を書き換えます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 2.10.11.4

$a = a$ と $b = b$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{{(a - b)}^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

ステップ 3

$\frac{a - b}{b}$ に $\frac{a}{a + b}$ をかけます。

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{{(a - b)}^{2}}{a + b}}{\frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

ステップ 4

分数をまとめます。

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ステップ 4.1

まとめる。

$\frac{a \frac{{(a - b)}^{2}}{a + b}}{(a + b) (a - b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

ステップ 4.2

$a$ と $\frac{{(a - b)}^{2}}{a + b}$ をまとめます。

$\frac{\frac{a {(a - b)}^{2}}{a + b}}{(a + b) (a - b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

ステップ 5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{a {(a - b)}^{2}}{a + b} \cdot \frac{1}{(a + b) (a - b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

ステップ 6

$a - b$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$a - b$ を $a {(a - b)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(a - b) (a (a - b))}{a + b} \cdot \frac{1}{(a + b) (a - b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

ステップ 6.2

$a - b$ を $(a + b) (a - b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}$ で因数分解します。

$\frac{(a - b) (a (a - b))}{a + b} \cdot \frac{1}{(a - b) ((a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)})}$

ステップ 6.3

共通因数を約分します。

$\frac{(a - b) (a (a - b))}{a + b} \cdot \frac{1}{(a - b) ((a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)})}$

ステップ 6.4

式を書き換えます。

$\frac{a (a - b)}{a + b} \cdot \frac{1}{(a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

ステップ 7

$\frac{a (a - b)}{a + b}$ に $\frac{1}{(a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$ をかけます。

$\frac{a (a - b)}{(a + b) ((a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)})}$

ステップ 8

$a + b$ を $1$ 乗します。

$\frac{a (a - b)}{{(a + b)}^{1} (a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

ステップ 9

$a + b$ を $1$ 乗します。

$\frac{a (a - b)}{{(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

ステップ 10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{a (a - b)}{{(a + b)}^{1 + 1} \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

ステップ 11

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{a (a - b)}{{(a + b)}^{2} \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

ステップ 12

${(a + b)}^{2}$ と $\frac{(a - b) a}{b (a + b)}$ をまとめます。

$\frac{a (a - b)}{\frac{{(a + b)}^{2} ((a - b) a)}{b (a + b)}}$

ステップ 13

${(a + b)}^{2}$ と $a + b$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1

$a + b$ を ${(a + b)}^{2} ((a - b) a)$ で因数分解します。

$\frac{a (a - b)}{\frac{(a + b) ((a + b) ((a - b) a))}{b (a + b)}}$

ステップ 13.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.1

$a + b$ を $b (a + b)$ で因数分解します。

$\frac{a (a - b)}{\frac{(a + b) ((a + b) ((a - b) a))}{(a + b) b}}$

ステップ 13.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{a (a - b)}{\frac{(a + b) ((a + b) ((a - b) a))}{(a + b) b}}$

ステップ 13.2.3

式を書き換えます。

$\frac{a (a - b)}{\frac{(a + b) ((a - b) a)}{b}}$

ステップ 14

分子に分母の逆数を掛けます。

$a (a - b) \frac{b}{(a + b) (a - b) a}$

ステップ 15

$(a - b) a$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.1

$(a - b) a$ を $a (a - b)$ で因数分解します。

$(a - b) a (1) \frac{b}{(a + b) (a - b) a}$

ステップ 15.2

$(a - b) a$ を $(a + b) (a - b) a$ で因数分解します。

$(a - b) a (1) \frac{b}{(a - b) a (a + b)}$

ステップ 15.3

共通因数を約分します。

$(a - b) a \cdot 1 \frac{b}{(a - b) a (a + b)}$

ステップ 15.4

式を書き換えます。

$\frac{b}{a + b}$

微分積分学準備 例

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