微分積分学準備例

$31 x^{2} + 10 \sqrt{3} x y + 21 y^{2} - 144 = 0$

ステップ 1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2

$a = 31$ 、 $b = 10 \sqrt{3} y$ 、および $c = 21 y^{2} - 144$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3} y)}^{2} - 4 \cdot (31 \cdot (21 y^{2} - 144))}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

括弧を付けます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 (\sqrt{3} y))}^{2} - 4 \cdot (31 \cdot (21 y^{2} - 144))}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.2

$u = 31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ とします。 $u$ を $31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ に代入します。

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ステップ 3.1.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.1.2.1.1

積の法則を $10 \sqrt{3} y$ に当てはめます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.2.1.2

積の法則を $10 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{10^{2} {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.2.2

$10$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.2.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.1.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.2.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.2.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.2.3.4.2

式を書き換えます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.2.3.5

指数を求めます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.2.4

$100$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{300 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.3

$4$ を $300 y^{2} - 4 u$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.3.1

$4$ を $300 y^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.3.2

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.3.3

$4$ を $4 (75 y^{2}) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - u)}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.4

$u$ のすべての発生を $31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ で置き換えます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (31 \cdot (21 y^{2} - 144)))}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.5

簡約します。

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ステップ 3.1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.5.1.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (31 (21 y^{2}) + 31 \cdot - 144))}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.5.1.2

$21$ に $31$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2} + 31 \cdot - 144))}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.5.1.3

$31$ に $- 144$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2} - 4464))}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.5.1.4

分配則を当てはめます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2}) + 4464)}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.5.1.5

$651$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - 651 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.5.1.6

$- 1$ に $- 4464$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - 651 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.5.2

$75 y^{2}$ から $651 y^{2}$ を引きます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (- 576 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.6

$144$ を $- 576 y^{2} + 4464$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.6.1

$144$ を $- 576 y^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2}) + 4464)}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.6.2

$144$ を $4464$ で因数分解します。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2}) + 144 (31))}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.6.3

$144$ を $144 (- 4 y^{2}) + 144 (31)$ で因数分解します。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2} + 31))}}{2 \cdot 31}$

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 \cdot (144 (- 4 y^{2} + 31))}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.7

$4$ に $144$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{576 (- 4 y^{2} + 31)}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.8

$576$ を $24^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{24^{2} (- 4 y^{2} + 31)}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{2 \cdot 31}$

ステップ 3.2

$2$ に $31$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{62}$

ステップ 3.3

$\frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{62}$ を簡約します。

$x = \frac{- 5 \sqrt{3} y \pm 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$

ステップ 4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{5 \sqrt{3} y - 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$

$x = - \frac{5 \sqrt{3} y + 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$

微分積分学準備 例

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