微分積分学準備例

$2 \sin (\frac{π}{4} x) = 1$

ステップ 1

$2 \sin (\frac{π}{4} x) = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$2 \sin (\frac{π}{4} x) = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (\frac{π}{4} x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (\frac{π}{4} x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4} x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (\frac{π}{4} x) = \frac{1}{2}$

ステップ 2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{π}{4} x = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{π}{4}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{π x}{4} = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{6}$

ステップ 5

方程式の両辺に $\frac{4}{π}$ を掛けます。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

ステップ 6

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ を簡約します。

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ステップ 6.1.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

ステップ 6.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

ステップ 6.1.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1.2.1

$π$ を $π x$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

ステップ 6.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

ステップ 6.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{6}$

ステップ 6.2.1.1.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.2.1.1.4

式を書き換えます。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x = 2 (\frac{1}{3})$

ステップ 6.2.1.3

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2}{3}$

ステップ 7

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{π x}{4} = π - \frac{π}{6}$

ステップ 8

$x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺に $\frac{4}{π}$ を掛けます。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

ステップ 8.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

ステップ 8.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

ステップ 8.2.1.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.2.1

$π$ を $π x$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

ステップ 8.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

ステップ 8.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

ステップ 8.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$\frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$ を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = \frac{4}{π} (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

ステップ 8.2.2.1.2

項を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{4}{π} (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

ステップ 8.2.2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 8.2.2.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1.2.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 8.2.2.1.2.3.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

ステップ 8.2.2.1.2.3.3

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

ステップ 8.2.2.1.2.3.4

式を書き換えます。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

ステップ 8.2.2.1.2.4

$\frac{2}{π}$ に $\frac{π \cdot 6 - π}{3}$ をかけます。

$x = \frac{2 (π \cdot 6 - π)}{π \cdot 3}$

ステップ 8.2.2.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 (6 \cdot π - π)}{π \cdot 3}$

ステップ 8.2.2.1.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{2 \cdot 5 π}{π \cdot 3}$

ステップ 8.2.2.1.3.3

$2$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{10 π}{π \cdot 3}$

ステップ 8.2.2.1.4

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{10 π}{π \cdot 3}$

ステップ 8.2.2.1.4.2

式を書き換えます。

$x = \frac{10}{3}$

ステップ 9

$\sin (\frac{π}{4} x)$ の周期を求めます。

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ステップ 9.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 9.2

周期の公式の $b$ を $\frac{π}{4}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

ステップ 9.3

$\frac{π}{4}$ は約 $0.78539816$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

ステップ 9.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \frac{4}{π}$

ステップ 9.5

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.5.1

$π$ を $2 π$ で因数分解します。

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

ステップ 9.5.2

共通因数を約分します。

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

ステップ 9.5.3

式を書き換えます。

$2 \cdot 4$

ステップ 9.6

$2$ に $4$ をかけます。

$8$

ステップ 10

$\sin (\frac{π}{4} x)$ 関数の周期が $8$ なので、両方向で $8$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2}{3} + 8 n, \frac{10}{3} + 8 n$ 、任意の整数 $n$

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