微分積分学準備例

$3 e^{x} + 2 e^{- x} = 7$

ステップ 1

$e^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$3 e^{x} + 2 {(e^{x})}^{- 1} = 7$

ステップ 2

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$3 u + 2 u^{- 1} = 7$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 u + 2 (\frac{1}{u}) = 7$

ステップ 3.2

$2$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$3 u + \frac{2}{u} = 7$

ステップ 4

$u$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 4.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 1$

ステップ 4.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 4.2

$3 u + \frac{2}{u} = 7$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 4.2.1

$3 u + \frac{2}{u} = 7$ の各項に $u$ を掛けます。

$3 u \cdot u + \frac{2}{u} u = 7 u$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1.1.1

$u$ を移動させます。

$3 (u \cdot u) + \frac{2}{u} u = 7 u$

ステップ 4.2.2.1.1.2

$u$ に $u$ をかけます。

$3 u^{2} + \frac{2}{u} u = 7 u$

ステップ 4.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 u^{2} + \frac{2}{u} u = 7 u$

ステップ 4.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$3 u^{2} + 2 = 7 u$

ステップ 4.3

方程式を解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $7 u$ を引きます。

$3 u^{2} + 2 - 7 u = 0$

ステップ 4.3.2

群による因数分解。

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ステップ 4.3.2.1

項を並べ替えます。

$3 u^{2} - 7 u + 2 = 0$

ステップ 4.3.2.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ で和が $b = - 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.3.2.2.1

$- 7$ を $- 7 u$ で因数分解します。

$3 u^{2} - 7 u + 2 = 0$

ステップ 4.3.2.2.2

$- 7$ を $- 1$ プラス $- 6$ に書き換える

$3 u^{2} + (- 1 - 6) u + 2 = 0$

ステップ 4.3.2.2.3

分配則を当てはめます。

$3 u^{2} - 1 u - 6 u + 2 = 0$

ステップ 4.3.2.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.3.2.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 u^{2} - 1 u) - 6 u + 2 = 0$

ステップ 4.3.2.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (3 u - 1) - 2 (3 u - 1) = 0$

ステップ 4.3.2.4

最大公約数 $3 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 u - 1) (u - 2) = 0$

ステップ 4.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 u - 1 = 0$

$u - 2 = 0$

ステップ 4.3.4

$3 u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.3.4.1

$3 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 u - 1 = 0$

ステップ 4.3.4.2

$u$ について $3 u - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.3.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 u = 1$

ステップ 4.3.4.2.2

$3 u = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.4.2.2.1

$3 u = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 4.3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 4.3.4.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{3}$

ステップ 4.3.5

$u - 2$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.3.5.1

$u - 2$ が $0$ に等しいとします。

$u - 2 = 0$

ステップ 4.3.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$u = 2$

ステップ 4.3.6

最終解は $(3 u - 1) (u - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{1}{3}, 2$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$\frac{1}{3} = e^{x}$

ステップ 6

$\frac{1}{3} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $e^{x} = \frac{1}{3}$ として書き換えます。

$e^{x} = \frac{1}{3}$

ステップ 6.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{3})$

ステップ 6.3

左辺を展開します。

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ステップ 6.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{3})$

ステップ 6.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{3})$

ステップ 6.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (\frac{1}{3})$

ステップ 7

$2$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$2 = e^{x}$

ステップ 8

$2 = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $e^{x} = 2$ として書き換えます。

$e^{x} = 2$

ステップ 8.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

ステップ 8.3

左辺を展開します。

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ステップ 8.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (2)$

ステップ 8.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (2)$

ステップ 8.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (2)$

ステップ 9

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (\frac{1}{3}), \ln (2)$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (\frac{1}{3}), \ln (2)$

10進法形式：

$x = - 1.09861228 \dots, 0.69314718 \dots$

微分積分学準備 例

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