微分積分学準備例

$10 e^{x} - 15 - 45 e^{- x} = 0$

ステップ 1

$e^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$10 e^{x} - 15 - 45 {(e^{x})}^{- 1} = 0$

ステップ 2

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$10 u - 15 - 45 u^{- 1} = 0$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$10 u - 15 - 45 \frac{1}{u} = 0$

ステップ 3.2

$- 45$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$10 u - 15 + \frac{- 45}{u} = 0$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$10 u - 15 - \frac{45}{u} = 0$

ステップ 4

$u$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 4.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, 1, u, 1$

ステップ 4.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 4.2

$10 u - 15 - \frac{45}{u} = 0$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 4.2.1

$10 u - 15 - \frac{45}{u} = 0$ の各項に $u$ を掛けます。

$10 u \cdot u - 15 u - \frac{45}{u} u = 0 u$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1.1.1

$u$ を移動させます。

$10 (u \cdot u) - 15 u - \frac{45}{u} u = 0 u$

ステップ 4.2.2.1.1.2

$u$ に $u$ をかけます。

$10 u^{2} - 15 u - \frac{45}{u} u = 0 u$

ステップ 4.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.2.1

$- \frac{45}{u}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$10 u^{2} - 15 u + \frac{- 45}{u} u = 0 u$

ステップ 4.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$10 u^{2} - 15 u + \frac{- 45}{u} u = 0 u$

ステップ 4.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$10 u^{2} - 15 u - 45 = 0 u$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$0$ に $u$ をかけます。

$10 u^{2} - 15 u - 45 = 0$

ステップ 4.3

方程式を解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.3.1.1

$5$ を $10 u^{2} - 15 u - 45$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.1.1.1

$5$ を $10 u^{2}$ で因数分解します。

$5 (2 u^{2}) - 15 u - 45 = 0$

ステップ 4.3.1.1.2

$5$ を $- 15 u$ で因数分解します。

$5 (2 u^{2}) + 5 (- 3 u) - 45 = 0$

ステップ 4.3.1.1.3

$5$ を $- 45$ で因数分解します。

$5 (2 u^{2}) + 5 (- 3 u) + 5 (- 9) = 0$

ステップ 4.3.1.1.4

$5$ を $5 (2 u^{2}) + 5 (- 3 u)$ で因数分解します。

$5 (2 u^{2} - 3 u) + 5 (- 9) = 0$

ステップ 4.3.1.1.5

$5$ を $5 (2 u^{2} - 3 u) + 5 (- 9)$ で因数分解します。

$5 (2 u^{2} - 3 u - 9) = 0$

ステップ 4.3.1.2

因数分解。

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ステップ 4.3.1.2.1

群による因数分解。

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ステップ 4.3.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 9 = - 18$ で和が $b = - 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.3.1.2.1.1.1

$- 3$ を $- 3 u$ で因数分解します。

$5 (2 u^{2} - 3 u - 9) = 0$

ステップ 4.3.1.2.1.1.2

$- 3$ を $3$ プラス $- 6$ に書き換える

$5 (2 u^{2} + (3 - 6) u - 9) = 0$

ステップ 4.3.1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$5 (2 u^{2} + 3 u - 6 u - 9) = 0$

ステップ 4.3.1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.3.1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$5 ((2 u^{2} + 3 u) - 6 u - 9) = 0$

ステップ 4.3.1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$5 (u (2 u + 3) - 3 (2 u + 3)) = 0$

ステップ 4.3.1.2.1.3

最大公約数 $2 u + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$5 ((2 u + 3) (u - 3)) = 0$

ステップ 4.3.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$5 (2 u + 3) (u - 3) = 0$

ステップ 4.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 u + 3 = 0$

$u - 3 = 0$

ステップ 4.3.3

$2 u + 3$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.3.3.1

$2 u + 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 u + 3 = 0$

ステップ 4.3.3.2

$u$ について $2 u + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.3.3.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 u = - 3$

ステップ 4.3.3.2.2

$2 u = - 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.3.2.2.1

$2 u = - 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 4.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 4.3.3.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{- 3}{2}$

ステップ 4.3.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{3}{2}$

ステップ 4.3.4

$u - 3$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.3.4.1

$u - 3$ が $0$ に等しいとします。

$u - 3 = 0$

ステップ 4.3.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$u = 3$

ステップ 4.3.5

最終解は $5 (2 u + 3) (u - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = - \frac{3}{2}, 3$

ステップ 5

$- \frac{3}{2}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$- \frac{3}{2} = e^{x}$

ステップ 6

$- \frac{3}{2} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $e^{x} = - \frac{3}{2}$ として書き換えます。

$e^{x} = - \frac{3}{2}$

ステップ 6.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{3}{2})$

ステップ 6.3

$\ln (- \frac{3}{2})$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 6.4

$e^{x} = - \frac{3}{2}$ の解はありません

解がありません

ステップ 7

$3$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$3 = e^{x}$

ステップ 8

$3 = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $e^{x} = 3$ として書き換えます。

$e^{x} = 3$

ステップ 8.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

ステップ 8.3

左辺を展開します。

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ステップ 8.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (3)$

ステップ 8.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (3)$

ステップ 8.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (3)$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (3)$

10進法形式：

$x = 1.09861228 \dots$

微分積分学準備 例

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