微分積分学準備例

${(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1} = 8$

ステップ 1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1}) = \ln (8)$

ステップ 2

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x - 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1})$ を展開します。

$(x - 1) \ln (2^{2 x} \cdot 2^{2 x}) = \ln (8)$

ステップ 2.2

指数を足して $2^{2 x}$ に $2^{2 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x - 1) \ln (2^{2 x + 2 x}) = \ln (8)$

ステップ 2.2.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$(x - 1) \ln (2^{4 x}) = \ln (8)$

ステップ 2.3

$4 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{4 x})$ を展開します。

$(x - 1) (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

ステップ 3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$(x - 1) (4 x \ln (2))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$x (4 x \ln (2)) - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

ステップ 3.1.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 \ln (2) x \cdot x - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

ステップ 3.1.1.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$4 \ln (2) x \cdot x - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

ステップ 3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$4 \ln (2) (x \cdot x) - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

ステップ 3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$4 \ln (2) x^{2} - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

$4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

ステップ 3.1.3

$4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2)$ の因数を並べ替えます。

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

ステップ 4

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) - \ln (8) = 0$

ステップ 5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6

$a = 4 \ln (2)$ 、 $b = - 4 \ln (2)$ 、および $c = - \ln (8)$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 \ln (2) \cdot (- \ln (8)))}}{2 (4 \ln (2))}$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

括弧を付けます。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.2

$u = 4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ とします。 $u$ を $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

積の法則を $- 4 \ln (2)$ に当てはめます。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (2) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.2.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (2) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.3

$4$ を $16 \ln^{2} (2) - 4 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.1

$4$ を $16 \ln^{2} (2)$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.3.2

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.3.3

$4$ を $4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.4

$u$ のすべての発生を $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ で置き換えます。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (- \ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.5.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (- 4 (\ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.5.3

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.6

$4 \ln (2)$ を $4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.6.1

$4 \ln (2)$ を $4 \ln^{2} (2)$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.6.2

$4 \ln (2)$ を $4 \ln (2) \ln (8)$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.6.3

$4 \ln (2)$ を $4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 \cdot (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.7

$4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.8

$16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))$ を ${(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.8.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.8.3

括弧を付けます。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 2^{2} \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

ステップ 7.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$

ステップ 7.3

$\frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$ を簡約します。

$x = \frac{\ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

ステップ 8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

10進法形式：

$x = 1.5, - 0.5$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例