微分積分学準備例

$3 (2^{2 x}) - 11 \cdot 2^{x} - 4 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$2^{2 x}$ を ${(2^{x})}^{2}$ に書き換えます。

$3 \cdot {(2^{x})}^{2} - 11 \cdot 2^{x} - 4 = 0$

ステップ 1.2

$u = 2^{x}$ とします。 $u$ を $2^{x}$ に代入します。

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

ステップ 1.3

群による因数分解。

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ステップ 1.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ で和が $b = - 11$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.3.1.1

$- 11$ を $- 11 u$ で因数分解します。

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

ステップ 1.3.1.2

$- 11$ を $1$ プラス $- 12$ に書き換える

$3 u^{2} + (1 - 12) u - 4 = 0$

ステップ 1.3.1.3

分配則を当てはめます。

$3 u^{2} + 1 u - 12 u - 4 = 0$

ステップ 1.3.1.4

$u$ に $1$ をかけます。

$3 u^{2} + u - 12 u - 4 = 0$

$3 u^{2} + u - 12 u - 4 = 0$

ステップ 1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 u^{2} + u) - 12 u - 4 = 0$

ステップ 1.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (3 u + 1) - 4 (3 u + 1) = 0$

$u (3 u + 1) - 4 (3 u + 1) = 0$

ステップ 1.3.3

最大公約数 $3 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 u + 1) (u - 4) = 0$

$(3 u + 1) (u - 4) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を $2^{x}$ で置き換えます。

$(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$

$(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$

$2^{x} - 4 = 0$

ステップ 3

$3 \cdot 2^{x} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$3 \cdot 2^{x} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 \cdot 2^{x} = - 1$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3 \cdot 2^{x}) = \ln (- 1)$

ステップ 3.2.3

$\ln (- 1)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.2.4

$3 \cdot 2^{x} = - 1$ の解はありません

解がありません

解がありません

解がありません

ステップ 4

$2^{x} - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$2^{x} - 4$ が $0$ に等しいとします。

$2^{x} - 4 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $2^{x} - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$2^{x} = 4$

ステップ 4.2.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$2^{x} = 2^{2}$

ステップ 4.2.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = 2$

$x = 2$

$x = 2$

ステップ 5

最終解は $(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$