微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 0, x = 1$

ステップ 2

$\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $0$ 、 $\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ を右から $x$ $\to$ $0$ としているので、 $x = 0$ は垂直漸近線です。

$x = 0$

ステップ 3

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 4

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 2$

ステップ 5

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 6.1

式を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x - x^{2}}$

ステップ 6.1.1.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x - x^{2}}$

ステップ 6.1.1.3

簡約します。

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ステップ 6.1.1.3.1

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x - x^{2}}$

ステップ 6.1.1.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - x^{2}}$

ステップ 6.1.2

項を簡約します。

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ステップ 6.1.2.1

$x$ を $x - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{1} - x^{2}}$

ステップ 6.1.2.1.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot 1 - x^{2}}$

ステップ 6.1.2.1.3

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot 1 + x (- x)}$

ステップ 6.1.2.1.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- x)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

ステップ 6.1.2.2

$x - 1$ と $1 - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.2.1

$- 1$ を $x$ で因数分解します。

$\frac{(- 1 (- x) - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

ステップ 6.1.2.2.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (1)) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

ステップ 6.1.2.2.3

$- 1$ を $- 1 (- x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

ステップ 6.1.2.2.4

項を並べ替えます。

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (- x + 1)}$

ステップ 6.1.2.2.5

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (- x + 1)}$

ステップ 6.1.2.2.6

式を書き換えます。

$\frac{- 1 (x^{2} + x + 1)}{x}$

ステップ 6.1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2} + x + 1}{x}$

ステップ 6.2

$- (x^{2} + x + 1)$ を展開します。

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ステップ 6.2.1

$x^{2} + x + 1$ を否定します。

$\frac{- (x^{2} + x + 1)}{x}$

ステップ 6.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- (x^{2} + x) - 1 \cdot 1}{x}$

ステップ 6.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- x^{2} - x - 1 \cdot 1}{x}$

ステップ 6.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- x^{2} - x - 1}{x}$

ステップ 6.3

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$0$

$x^{2}$

$x$

$1$

ステップ 6.4

被除数 $- x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$

ステップ 6.5

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

ステップ 6.6

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

ステップ 6.7

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$

ステップ 6.8

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$

ステップ 6.9

被除数 $- x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$

ステップ 6.10

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					-	$x$	+	$0$

ステップ 6.11

式は被除数から引く必要があるので、 $- x + 0$ の符号をすべて変更します。

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	-	$0$

ステップ 6.12

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	-	$0$
							-	$1$

ステップ 6.13

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$- x - 1 - \frac{1}{x}$

ステップ 6.14

解を多項式の部分と余りに分割します。

$- x - 1 + \frac{x - 1}{- x^{2} + x}$

ステップ 6.15

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = - x - 1$

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = - x - 1$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例