微分積分学準備例

$y = a {(x - h)}^{2} + k \cdot 4 x^{2} + 8 x - 4$

ステップ 1

方程式を $a {(x - h)}^{2} + k \cdot (4 x^{2}) + 8 x - 4 = y$ として書き換えます。

$a {(x - h)}^{2} + k \cdot (4 x^{2}) + 8 x - 4 = y$

ステップ 2

積の可換性を利用して書き換えます。

$a {(x - h)}^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - 4 = y$

ステップ 3

方程式の両辺に $4$ を足します。

$a {(x - h)}^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

ステップ 4

${(x - h)}^{2}$ を $(x - h) (x - h)$ に書き換えます。

$a ((x - h) (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

ステップ 5

分配法則（FOIL法）を使って $(x - h) (x - h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$a (x (x - h) - h (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

ステップ 6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

ステップ 6.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

ステップ 6.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h \cdot h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

ステップ 6.1.4

指数を足して $h$ に $h$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

$h$ を移動させます。

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 (h \cdot h))) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

ステップ 6.1.4.2

$h$ に $h$ をかけます。

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h^{2})) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

ステップ 6.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

ステップ 6.1.6

$h^{2}$ に $1$ をかけます。

$a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

ステップ 6.2

$- x h$ から $h x$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$x$ を移動させます。

$a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

ステップ 6.2.2

$- h x$ から $h x$ を引きます。

$a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

ステップ 7

分配則を当てはめます。

$a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

ステップ 8

積の可換性を利用して書き換えます。

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

ステップ 9

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - y = 4$

ステップ 9.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - y - 4 = 0$

ステップ 10

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 11

$a = a + 4 k$ 、 $b = - 2 a h + 8$ 、および $c = a h^{2} - y - 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- (- 2 a h + 8) \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{- (- 2 a h) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 (a h) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.3

$- 1$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{2 (a h) - 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.4

括弧を付けます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{{(- 2 (a h) + 8)}^{2} - 4 \cdot ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.5

$u = (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ とします。 $u$ を $(a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1

${(- 2 a h + 8)}^{2}$ を $(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h + 8) + 8 (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.5.2.2

分配則を当てはめます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.5.2.3

分配則を当てはめます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.3.1.1

指数を足して $a$ に $a$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.3.1.1.1

$a$ を移動させます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 (a \cdot a) h (- 2 h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.5.3.1.1.2

$a$ に $a$ をかけます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} h (- 2 h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.5.3.1.2

指数を足して $h$ に $h$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.3.1.2.1

$h$ を移動させます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} (h \cdot h) \cdot - 2 - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.5.3.1.2.2

$h$ に $h$ をかけます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} h^{2} \cdot - 2 - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.5.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.5.3.1.4

$8$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.5.3.1.5

$- 2$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h - 16 (a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.5.3.1.6

$8$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h - 16 a h + 64 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.5.3.2

$- 16 a h$ から $16 a h$ を引きます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.6

$4$ を $4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.1

$4$ を $4 a^{2} h^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) - 32 a h + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.6.2

$4$ を $- 32 a h$ で因数分解します。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.6.3

$4$ を $64$ で因数分解します。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 4 (16) - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.6.4

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.6.5

$4$ を $4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.6.6

$4$ を $4 (a^{2} h^{2} - 8 a h) + 4 (16)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.6.7

$4$ を $4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - u)}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.7

$u$ のすべての発生を $(a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ で置き換えます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)))}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.8.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(a + 4 k) (a h^{2} - y - 4)$ を展開します。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a (a h^{2}) + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.8.1.2.1

指数を足して $a$ に $a$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.8.1.2.1.1

$a$ を移動させます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a \cdot a h^{2} + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8.1.2.1.2

$a$ に $a$ をかけます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8.1.2.3

$- 4$ を $a$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 \cdot a + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8.1.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} + 4 \cdot (- 1 k y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8.1.2.5

$4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} - 4 k y + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8.1.2.6

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} - 4 k y - 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8.1.3

分配則を当てはめます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2}) - (- a y) - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.8.1.4.1

$- (- a y)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.8.1.4.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + 1 (a y) - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8.1.4.1.2

$a$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8.1.4.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8.1.4.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8.1.4.4

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) + 4 (k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8.1.4.5

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) + 4 (k y) + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8.1.5

括弧を削除します。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8.2

$a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.8.2.1

$a^{2} h^{2}$ から $a^{2} h^{2}$ を引きます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 a h + 16 + 0 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.8.2.2

$- 8 a h + 16$ と $0$ をたし算します。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.9

$4 (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)$ を $2^{2} (- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.9.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{2^{2} (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.9.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{2^{2} (- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.10

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm 2 \sqrt{- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 12.11

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm 2 \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{2 (a + 4 k)}$

ステップ 13

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{a h - 4 + \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{a + 4 k}$

$x = \frac{a h - 4 - \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{a + 4 k}$

微分積分学準備 例

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