微分積分学準備例

$f (x) = 2 x^{4} - 15 x^{3} + 23 x^{2} + 15 x - 25$

ステップ 1

$2 x^{4} - 15 x^{3} + 23 x^{2} + 15 x - 25$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{4} - 15 x^{3} + 23 x^{2} + 15 x - 25 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$- 15 x^{3} + 15 x + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 15 x$ を $- 15 x^{3} + 15 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 15 x$ を $- 15 x^{3}$ で因数分解します。

$- 15 x \cdot x^{2} + 15 x + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$- 15 x$ を $15 x$ で因数分解します。

$- 15 x \cdot x^{2} - 15 x \cdot - 1 + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$- 15 x$ を $- 15 x (x^{2}) - 15 x (- 1)$ で因数分解します。

$- 15 x (x^{2} - 1) + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

ステップ 2.1.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- 15 x (x^{2} - 1^{2}) + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

ステップ 2.1.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$- 15 x ((x + 1) (x - 1)) + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

ステップ 2.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

ステップ 2.1.5

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 {(x^{2})}^{2} + 23 x^{2} - 25 = 0$

ステップ 2.1.6

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + 23 u - 25 = 0$

ステップ 2.1.7

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ で和が $b = 23$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1.1

$23$ を $23 u$ で因数分解します。

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + 23 (u) - 25 = 0$

ステップ 2.1.7.1.2

$23$ を $- 2$ プラス $25$ に書き換える

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + (- 2 + 25) u - 25 = 0$

ステップ 2.1.7.1.3

分配則を当てはめます。

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} - 2 u + 25 u - 25 = 0$

ステップ 2.1.7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} - 2 u + 25 u - 25 = 0$

ステップ 2.1.7.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u (u - 1) + 25 (u - 1) = 0$

ステップ 2.1.7.3

最大公約数 $u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (2 u + 25) = 0$

ステップ 2.1.8

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (2 x^{2} + 25) = 0$

ステップ 2.1.9

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (2 x^{2} + 25) = 0$

ステップ 2.1.10

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 25) = 0$

ステップ 2.1.11

$(x + 1) (x - 1)$ を $- 15 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 25)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.11.1

$(x + 1) (x - 1)$ を $- 15 x (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$(x + 1) (x - 1) (- 15 x) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 25) = 0$

ステップ 2.1.11.2

$(x + 1) (x - 1)$ を $(x + 1) (x - 1) (- 15 x) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 25)$ で因数分解します。

$(x + 1) (x - 1) (- 15 x + 2 x^{2} + 25) = 0$

ステップ 2.1.12

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x + 1) (x - 1) (- 15 u + 2 u^{2} + 25) = 0$

ステップ 2.1.13

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.13.1

項を並べ替えます。

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 15 u + 25) = 0$

ステップ 2.1.13.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ で和が $b = - 15$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.13.2.1

$- 15$ を $- 15 u$ で因数分解します。

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 15 u + 25) = 0$

ステップ 2.1.13.2.2

$- 15$ を $- 5$ プラス $- 10$ に書き換える

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} + (- 5 - 10) u + 25) = 0$

ステップ 2.1.13.2.3

分配則を当てはめます。

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 5 u - 10 u + 25) = 0$

ステップ 2.1.13.3

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.13.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x + 1) (x - 1) ((2 u^{2} - 5 u) - 10 u + 25) = 0$

ステップ 2.1.13.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x + 1) (x - 1) (u (2 u - 5) - 5 (2 u - 5)) = 0$

ステップ 2.1.13.4

最大公約数 $2 u - 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 1) (x - 1) ((2 u - 5) (u - 5)) = 0$

ステップ 2.1.14

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.14.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x + 1) (x - 1) ((2 x - 5) (x - 5)) = 0$

ステップ 2.1.14.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 1) (x - 1) (2 x - 5) (x - 5) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 2.3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

$2 x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$2 x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 5 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $2 x - 5 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$2 x = 5$

ステップ 2.5.2.2

$2 x = 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

$2 x = 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5}{2}$

ステップ 2.6

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.7

最終解は $(x + 1) (x - 1) (2 x - 5) (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1, \frac{5}{2}, 5$

ステップ 3

微分積分学準備 例

微分積分学準備例