微分積分学準備例

$f (x) = x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$

ステップ 1

$x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$ が $0$ に等しいとします。

$x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$x^{5} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 2.1.2

$x$ を $x^{5} - 3 x^{3} - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $- 3 x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 2.1.2.4

$x$ を $x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2})$ で因数分解します。

$x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 2.1.2.5

$x$ を $x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4$ で因数分解します。

$x (x^{4} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 2.1.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 2.1.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$x (u^{2} - 3 u - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 2.1.5

たすき掛けを利用して $u^{2} - 3 u - 4$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $- 3$ です。

$- 4, 1$

ステップ 2.1.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x ((u - 4) (u + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 2.1.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 2.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 2.1.8

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.8.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 2.1.8.2

不要な括弧を削除します。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 2.1.9

$3$ を $- 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.1

$3$ を $- 3 x^{4}$ で因数分解します。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 9 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 2.1.9.2

$3$ を $9 x^{2}$ で因数分解します。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 12 = 0$

ステップ 2.1.9.3

$3$ を $12$ で因数分解します。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

ステップ 2.1.9.4

$3$ を $3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2})$ で因数分解します。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

ステップ 2.1.9.5

$3$ を $3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4)$ で因数分解します。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

ステップ 2.1.10

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} + 4) = 0$

ステップ 2.1.11

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 u + 4) = 0$

ステップ 2.1.12

群による因数分解。

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ステップ 2.1.12.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ で和が $b = 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.12.1.1

$3$ を $3 u$ で因数分解します。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 (u) + 4) = 0$

ステップ 2.1.12.1.2

$3$ を $- 1$ プラス $4$ に書き換える

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + (- 1 + 4) u + 4) = 0$

ステップ 2.1.12.1.3

分配則を当てはめます。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} - 1 u + 4 u + 4) = 0$

ステップ 2.1.12.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.12.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u^{2} - 1 u) + 4 u + 4) = 0$

ステップ 2.1.12.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (u (- u - 1) - 4 (- u - 1)) = 0$

ステップ 2.1.12.3

最大公約数 $- u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u - 1) (u - 4)) = 0$

ステップ 2.1.13

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

ステップ 2.1.14

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

ステップ 2.1.15

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.15.1

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.15.1.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

ステップ 2.1.15.1.2

不要な括弧を削除します。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 2.1.15.2

不要な括弧を削除します。

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 2.1.16

$(x + 2) (x - 2)$ を $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.16.1

$(x + 2) (x - 2)$ を $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 2.1.16.2

$(x + 2) (x - 2)$ を $3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ で因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1)) = 0$

ステップ 2.1.16.3

$(x + 2) (x - 2)$ を $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1))$ で因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

ステップ 2.1.17

分配則を当てはめます。

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

ステップ 2.1.18

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.18.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.18.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

ステップ 2.1.18.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

ステップ 2.1.18.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

ステップ 2.1.19

$x$ に $1$ をかけます。

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

ステップ 2.1.20

分配則を当てはめます。

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1) = 0$

ステップ 2.1.21

$- 1$ に $3$ をかけます。

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1) = 0$

ステップ 2.1.22

$3$ に $- 1$ をかけます。

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} - 3) = 0$

ステップ 2.1.23

項を並べ替えます。

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + x - 3) = 0$

ステップ 2.1.24

因数分解。

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ステップ 2.1.24.1

因数分解した形で $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.24.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.24.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - 3 x^{2}) + x - 3) = 0$

ステップ 2.1.24.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 3) + 1 (x - 3)) = 0$

ステップ 2.1.24.1.2

最大公約数 $x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 2.1.24.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

ステップ 2.3

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.6

$x^{2} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$x^{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 1 = 0$

ステップ 2.6.2

$x$ について $x^{2} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.6.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} = - 1$

ステップ 2.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 2.6.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 2.6.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 2.6.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 2.6.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 2.7

最終解は $(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 2, 3, i, - i$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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